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《帶余除法》課件

《帶余除法》課件

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1、帶余除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外,例如:16÷3=5…1,即16=5×3+1.此時,被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù),我們稱之為帶余數(shù)的除法。溫故知新定義設(shè)a與b是兩個整數(shù),b>0,則存在唯一的兩個整數(shù)q和r,使得定義2:(1)式通常寫成并稱q為a被b除所得的不完全商;r叫做a被b除所得的余數(shù);(2)式稱為帶余數(shù)除法。提醒:除數(shù)>余數(shù)證明:存在性:考慮整數(shù)序列則a必在序列的某兩項之間,即存在一個整數(shù)q,使得定理1設(shè)a與b是兩個整數(shù),b>0,則存在唯一的兩個整數(shù)q和r,使得唯一性設(shè)另外有使,則進而得到。 如果,則等式的左端,但另一方面,即可知等式的右端。這個矛盾說

2、明,從而。定理得證。例利用帶余數(shù)除法,由a,b的值求q,r.如果允許b取負值,則要求思考正確嗎?知識運用例1一個兩位數(shù)去除251,得到的余數(shù)是41.求這個兩位數(shù)。分析這是一道帶余除法題,且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式入手分析。解:∵被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù),   即被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù),   ∴251=除數(shù)×商+41,251-41=除數(shù)×商,   ∴210=除數(shù)×商?,F(xiàn)在怎么辦呢?因式分解∵210=2×3×5×7, ∴210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。

3、這些可能都可以嗎?除數(shù)>余數(shù)知識運用解:∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù),   即被除數(shù)=除數(shù)×40+16。   由題意可知:被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877,   ∴(除數(shù)×40+16)+除數(shù)=877,   ∴除數(shù)×41=877-16,例2用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù),商40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少?思考:是否就是關(guān)于除數(shù)和減去余數(shù)的被除數(shù)的和倍問題除數(shù)=861÷41,   除數(shù)=21,   ∴被除數(shù)=21×40+16=856。   答:被除數(shù)是856,除數(shù)是21。知識運用例3某年的十月里有5個星期六,4個星期日,問這年的10月1

4、日是星期幾?解:十月份共有31天,每周共有7天,   ∵31=7×4+3,   ∴根據(jù)題意可知:有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。   ∴這年的10月1日是星期四。例43月18日是星期日,從3月17日作為第一天開始往回數(shù)(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期幾?知識運用解:每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天),   從星期日往回數(shù)5天是星期二,所以第1993天必是星期二.例5一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù)。知識運用這是一道古算題.它早在《孫子算經(jīng)》中記有:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩

5、三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”關(guān)于這道題的解法,在明朝就流傳著一首解題之歌:“三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余數(shù)乘以70,用除以5的余數(shù)乘以21,用除以7的余數(shù)乘以15,再把三個乘積相加.如果這三個數(shù)的和大于105,那么就減去105,直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下:2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23符合條件的最小自然數(shù)是23。分析:本題我們可以采用“逐級滿足法”先求出滿足3、5兩數(shù)的最小數(shù),然后在不改變余數(shù)的基礎(chǔ)上求滿足7的最小數(shù)。解::[3,7]+2=2323除以5恰好余

6、3。   所以,符合條件的最小自然數(shù)是23。還可以直接列舉例6一個數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求適合條件的最小的自然數(shù)。分析“除以5余3”即“加2后被5整除”,同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。   解:[5,6]-2=28,即28適合前兩個條件。   想:28+[5,6]×?之后能滿足“7除余1”的條件?28+[5,6]×4=148,148=21×7+1,   又148<210=[5,6,7]所以,適合條件的最小的自然數(shù)是148。知識運用例7一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù)。解:想:2+3×?之后能滿足“5除余3”的條件?2+3×

7、2=8。   再想:8+[3,5]×?之后能滿足“7除余4”的條件?8+[3,5]×3=53。   ∴符合條件的最小的自然數(shù)是53。知識運用歸納以上兩例題的解法為:逐步滿足條件法.當(dāng)找到滿足某個條件的數(shù)后,為了再滿足另一個條件,需做數(shù)的調(diào)整,調(diào)整時注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。例8一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個,最后剩1個;如果每次取5個或7個,最后都剩2個.布袋中至少有小球多少個?解:2+[5,7]×1=37(個)   ∵37除以3余1,除以5余2,除以7余2,

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