仿射變換應(yīng)用q&a

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1、仿射變換應(yīng)用Q&AQ:上次推送給的三條性質(zhì)是什么意思?。緼:性質(zhì)1變換后共線三點(diǎn)單比不變(即變換后三點(diǎn)的兩個(gè)線段的比值和變換前的比值一樣).性質(zhì)2變換后保持同素性和接合性(即變換前直線與曲線若相切，變換后仍相切).性質(zhì)3變換前后對(duì)應(yīng)圖形的面積比不變.最重要的是同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)分線段的比例（還記得解幾里背的定比分點(diǎn)成比例的公式么？）不會(huì)隨著這個(gè)變換改變，并且本來(lái)平行的直線變換后仍然平行。事實(shí)上仿射變換在平面上是由下面這些變換組成的（來(lái)自維基百科）：平移（Translation）、縮放（Scale）、翻轉(zhuǎn)（Flip）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）和錯(cuò)切（She

2、ar）。而我們?nèi)绻麅H僅在橢圓中運(yùn)用變換的話，其實(shí)最主要的是縮放。大家應(yīng)該碰到過(guò)這樣一件事情：看電影的時(shí)候4:3的影片投射到16:9的屏幕上的時(shí)候圖像發(fā)生了一些變換，比如像劉某人這樣的錐子臉可能就變成了圓臉，但是不管怎么變，在同一張屏幕上我還是要比劉宇瘦很多的。換句話說(shuō)，仿射變換下，直線還是變成直線，圓弧還是圓弧（請(qǐng)不要對(duì)號(hào)入座），二維圖形間的相對(duì)位置關(guān)系不變，平行線還是平行線，而直線上點(diǎn)的位置順序不變。所以定比分點(diǎn)的比例，進(jìn)而面積的比例，角度的比例，都不會(huì)變換。因?yàn)楸容^的兩個(gè)幾何量都同比例地變換了。但是要注意，向量的夾角是會(huì)變化的，所以直線的斜率會(huì)變，平行

3、線仿射后仍平行，垂直線段仿射后就不一定了。此外線段的比例，如果兩條線段不共線，是可能發(fā)生變化的。Q:仿射變換我能理解，但是怎么具體運(yùn)用到做題當(dāng)中？A：我們就舉一道楊浦區(qū)一模的題目來(lái)做例子吧。在用仿射變換之前先看看適不適合用仿射變換。如果是求軌跡方程類型的題目，就不太適合用仿射變換，而像這道題中出現(xiàn)了面積的比例，求解面積最大值這樣的問(wèn)題的時(shí)候，就適合用仿射變換。一句話，出現(xiàn)定比分線段、面積比例、求解面積、線段長(zhǎng)度最大最小值、以及相切問(wèn)題的時(shí)候，可以考慮仿射變換。第二步，建立仿射坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系的關(guān)系。設(shè)是新坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，（x，y）是原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。那么

4、根據(jù)方程我們知道就是把長(zhǎng)軸縮短一半。第三步，將原坐標(biāo)系下的量在新坐標(biāo)系下的值寫(xiě)出。本題中也就是寫(xiě)出第四步，在圓內(nèi)解決這個(gè)問(wèn)題。比如第一題第一小問(wèn)，其實(shí)就是求出直線的截距（不妨設(shè)為）的縱坐標(biāo)。我們就設(shè)所求的縱坐標(biāo)為y,。我們可以首先求出直線的表達(dá)式：和在圓內(nèi)，,所以,所以面積比等于線段比的平方，即,又因?yàn)槭侵睆?，所以，即（?dāng)中用到了在圓上的結(jié)論）而根據(jù)方程，，所以，所以y=2.第一題的第二問(wèn)，告訴我們的比例關(guān)系在仿射下不會(huì)改變，并且注意到在圓內(nèi)與是相似的，所以即，所以，第四步，帶回原來(lái)的坐標(biāo)系。我們算出來(lái)的這個(gè)點(diǎn)在軸上，所以在原來(lái)的坐標(biāo)系下的縱坐標(biāo)也為2.而

5、計(jì)算得到的m并不是一個(gè)幾何量，在變換中也沒(méi)有改變.于是就得到了答案。Q:那是不是所有的橢圓的題目都可以用仿射變換呢？A:并不一定。還是舉剛剛的例子，這一道題的第二問(wèn)就不適合用仿射變換來(lái)解決。題目的條件中有兩條垂直直線，并且曲線既有橢圓也有圓。一方面，在仿射變換中，垂直關(guān)系將不再保持，而垂直對(duì)于解決這道題所求的面積來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常重要的簡(jiǎn)化條件。另一方面，在橢圓的外接圓，內(nèi)切圓問(wèn)題中，運(yùn)用仿射變換不能將所有的曲線都變?yōu)閳A，仍變?yōu)闄E圓與圓的關(guān)系，在本質(zhì)上沒(méi)有化簡(jiǎn)運(yùn)算，因而在不能將圓的條件剝離出來(lái)的條件下不推薦使用仿射變換。Q:那雙曲線與拋物線有沒(méi)有仿射變換呢？A

6、:有的，在雙曲線與拋物線的問(wèn)題中我們還可以引入旋轉(zhuǎn)變換，將雙曲線變?yōu)閤y=1的形式，拋物線變?yōu)榈男问健Ｈ欢诖蠖鄶?shù)的情況下，這樣的變換并沒(méi)有帶來(lái)本質(zhì)的化簡(jiǎn)，在計(jì)算題的求解中不推薦使用。在填空、選擇快速找出答案的過(guò)程中可以嘗試，前提是清楚旋轉(zhuǎn)的角度（xy=1可以由標(biāo)準(zhǔn)方程逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到）Q:在高考中能不能使用仿射變換？A:你這么吊你的高中老師不一定知道，強(qiáng)烈不推薦使用。你可以用仿射變換解出答案，再在原坐標(biāo)系下證明這個(gè)結(jié)論。Q:在自招中能不能使用仿射變換？A:在橢圓的題目中，用吧，親。按照上面講的五部曲。詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)戳下章真題。真題選講·千分考編