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1、仿射變換應用Q&AQ:上次推送給的三條性質是什么意思??？A:性質1變換后共線三點單比不變(即變換后三點的兩個線段的比值和變換前的比值一樣).性質2變換后保持同素性和接合性(即變換前直線與曲線若相切，變換后仍相切).性質3變換前后對應圖形的面積比不變.最重要的是同一條直線上的三個點分線段的比例（還記得解幾里背的定比分點成比例的公式么？）不會隨著這個變換改變，并且本來平行的直線變換后仍然平行。事實上仿射變換在平面上是由下面這些變換組成的（來自維基百科）：平移（Translation）、縮放（Scale）、翻轉（Flip）、旋轉（Rotation）和錯切（Shear）。而我們如果僅僅在橢圓中運用
2、變換的話，其實最主要的是縮放。大家應該碰到過這樣一件事情：看電影的時候4:3的影片投射到16:9的屏幕上的時候圖像發(fā)生了一些變換，比如像劉某人這樣的錐子臉可能就變成了圓臉，但是不管怎么變，在同一張屏幕上我還是要比劉宇瘦很多的。換句話說，仿射變換下，直線還是變成直線，圓弧還是圓?。ㄕ埐灰獙μ柸胱S圖形間的相對位置關系不變，平行線還是平行線，而直線上點的位置順序不變。所以定比分點的比例，進而面積的比例，角度的比例，都不會變換。因為比較的兩個幾何量都同比例地變換了。但是要注意，向量的夾角是會變化的，所以直線的斜率會變，平行線仿射后仍平行，垂直線段仿射后就不一定了。此外線段的比例，如果兩條線
3、段不共線，是可能發(fā)生變化的。Q:仿射變換我能理解，但是怎么具體運用到做題當中？A：我們就舉一道楊浦區(qū)一模的題目來做例子吧。在用仿射變換之前先看看適不適合用仿射變換。如果是求軌跡方程類型的題目，就不太適合用仿射變換，而像這道題中出現(xiàn)了面積的比例，求解面積最大值這樣的問題的時候，就適合用仿射變換。一句話，出現(xiàn)定比分線段、面積比例、求解面積、線段長度最大最小值、以及相切問題的時候，可以考慮仿射變換。第二步，建立仿射坐標系和原坐標系的關系。設是新坐標系的點的坐標，（x，y）是原坐標系下的坐標。那么根據(jù)方程我們知道就是把長軸縮短一半。第三步，將原坐標系下的量在新坐標系下的值寫出。本題中也就是寫出第四
4、步，在圓內解決這個問題。比如第一題第一小問，其實就是求出直線的截距（不妨設為）的縱坐標。我們就設所求的縱坐標為y,。我們可以首先求出直線的表達式：和在圓內，,所以,所以面積比等于線段比的平方，即,又因為是直徑，所以，即（當中用到了在圓上的結論）而根據(jù)方程，，所以，所以y=2.第一題的第二問，告訴我們的比例關系在仿射下不會改變，并且注意到在圓內與是相似的，所以即，所以，第四步，帶回原來的坐標系。我們算出來的這個點在軸上，所以在原來的坐標系下的縱坐標也為2.而計算得到的m并不是一個幾何量，在變換中也沒有改變.于是就得到了答案。Q:那是不是所有的橢圓的題目都可以用仿射變換呢？A:并不一定。還是舉
5、剛剛的例子，這一道題的第二問就不適合用仿射變換來解決。題目的條件中有兩條垂直直線，并且曲線既有橢圓也有圓。一方面，在仿射變換中，垂直關系將不再保持，而垂直對于解決這道題所求的面積來說是一個非常重要的簡化條件。另一方面，在橢圓的外接圓，內切圓問題中，運用仿射變換不能將所有的曲線都變?yōu)閳A，仍變?yōu)闄E圓與圓的關系，在本質上沒有化簡運算，因而在不能將圓的條件剝離出來的條件下不推薦使用仿射變換。Q:那雙曲線與拋物線有沒有仿射變換呢？A:有的，在雙曲線與拋物線的問題中我們還可以引入旋轉變換，將雙曲線變?yōu)閤y=1的形式，拋物線變?yōu)榈男问?。然而在大多?shù)的情況下，這樣的變換并沒有帶來本質的化簡，在計算題的求解
6、中不推薦使用。在填空、選擇快速找出答案的過程中可以嘗試，前提是清楚旋轉的角度（xy=1可以由標準方程逆時針旋轉45°得到）Q:在高考中能不能使用仿射變換？A:你這么吊你的高中老師不一定知道，強烈不推薦使用。你可以用仿射變換解出答案，再在原坐標系下證明這個結論。Q:在自招中能不能使用仿射變換？A:在橢圓的題目中，用吧，親。按照上面講的五部曲。詳細內容請戳下章真題。真題選講·千分考編
