數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用探究

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1、參評論文《數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用探究》舞鋼市第二高級中學吳金耀2010年10月20日參評論文第103頁共103頁數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用探究摘要：數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學思想方法之一，“數(shù)”和“形”是事物本質(zhì)的兩個表現(xiàn)形式，理解并領(lǐng)悟這點是數(shù)學學習的重要方面。數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合、探究數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想，是我們解題的重要手段。它是在一定的數(shù)學知識、數(shù)學方法的基礎(chǔ)上形成的，它對理解、掌握、運用數(shù)學知識和數(shù)學方法，解

2、決數(shù)學問題能起到促進和深化的作用。一、數(shù)形結(jié)合思想的意義所謂數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，一方面借助數(shù)的精確性來闡述形的某些屬性，另一方面借助形的直觀性來闡述數(shù)量之間的關(guān)系。“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對數(shù)形結(jié)合思想的深刻，透徹的闡釋。具體的說，就是在解決數(shù)學問題時，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征或使“數(shù)”的問題，借助“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱數(shù)形結(jié)合思想。二、數(shù)形結(jié)合思想的原則1、等價原則等價原則是指“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何轉(zhuǎn)化是對應(yīng)的，即對于所討論的問題形與數(shù)所反映的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)具有一致性。

3、例1.方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）A、3個B、5個C、7個D、9個參評論文第103頁共103頁yOx分析：圖象法，作函數(shù)與的草圖。由于兩個函數(shù)均為奇函數(shù)，故只需要作的部分，又因為x>8時，>2，故圖形只需取[]就行了（如圖），當時，，在內(nèi)有一個交點。因此除原點外還有四個交點，再由奇偶性知有9個交點，故選D2、雙向性原則雙向性原則是指通過幾何形象的直觀性分析，進行代數(shù)計算的探索。例2.如果實數(shù)滿足等式，那么的最大值是什么？解：設(shè)點在圓上，圓心為,半徑等于。如圖，則是點與原點連線的斜率。當與⊙相切，且切點落在第一象限時，有最大值，即有最大值。因為=，=，所以==，所以==。3、簡單性原則簡單性原則

4、是指數(shù)形轉(zhuǎn)換時盡可能使構(gòu)圖簡單合理，即使幾何形象優(yōu)美又使代數(shù)計算簡潔明了。例3.解不等式：解:設(shè)，，即對應(yīng)的曲線是以(,0)為頂點，開口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是。參評論文第103頁共103頁三、數(shù)形結(jié)合思想的途徑1、由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換途徑（1）方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個圖象的交點位置關(guān)系的問題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。（2）利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。（3）構(gòu)造幾何模型。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形。（4）利用解析幾何

5、中的曲線與方程的關(guān)系、重要的公式（如兩點間的距離，點到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。2、由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換途徑（1）解析法：建立適當?shù)淖鴺讼担M坐標將幾何圖形變換為坐標間的代數(shù)關(guān)系。（2）三角法：將幾何問題與三角形溝通，運用三角知識獲得探求結(jié)果的途徑。（3）向量法：將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。四、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學教學中的應(yīng)用1、與不等式有關(guān)的問題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解不等式，要充分了解所求不等式的幾何意義

6、。例4.設(shè)變量、、在區(qū)間中取值，試證：參評論文第103頁共103頁分析：本題直接證不好證明，由左邊的輪換式可以聯(lián)想到面積，由于變量、、在區(qū)間中取值構(gòu)造一個邊長為1的正三角形。將這些關(guān)系統(tǒng)一在一個不等式中，可得到如下簡潔而優(yōu)美的解法。BA1ACB1C1解：如圖，正三角形邊長為1，設(shè)點、、分別在邊、和上，且有，，，則，，，，++∴即，結(jié)論得證2、與方程的根有關(guān)的問題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解方程，應(yīng)當注意曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系。xyo例5、方程的實根個數(shù)是（）A、1個B、2個C、3個D、4個分析：這道題若直觀通過解1個3次方程來解，比較麻煩。可在同一個坐標系下畫出與參評論文第103頁共103頁的圖象。由

7、圖象觀察可知，兩函數(shù)圖象只有一個交點。故選A3、與函數(shù)有關(guān)的問題例6、求二元函數(shù)的最小值Oyx分析：可將的表達式看作是兩點、之間距離的平方且，，所以可將、分別看作圓與雙曲線上一點易知∴4、與復(fù)數(shù)有關(guān)的問題例7、的2次方程中，均為復(fù)數(shù)且，設(shè)這個方程的兩個根為和，滿足，求的最大值、最小值分析：由韋達定理，得結(jié)合已知得OAyxBC·，即復(fù)數(shù)在以為圓心，7為半徑的圓上∵∴原點在上述圓內(nèi)，連接延長交圓于點與點則，5、在解析幾何上的