6函數(shù)的定義域、值域(最大、最小值)

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1、6題目第二章函數(shù)函數(shù)的定義域、值域（最大、最小值）高考要求掌握求函數(shù)值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；掌握二次函數(shù)值域（最值）或二次函數(shù)在某一給定區(qū)間上的值域（最值）的求法求函數(shù)最大、最小值問(wèn)題歷來(lái)是高考熱點(diǎn)，這類問(wèn)題的出現(xiàn)率很高，應(yīng)用很廣因此我們應(yīng)注意總結(jié)最大、最小值問(wèn)題的解題方法與技巧，以提高高考應(yīng)變能力因函數(shù)的最大、最小值求出來(lái)了，值域也就知道了反之，若求出的函數(shù)的值域?yàn)榉情_(kāi)區(qū)間，函數(shù)的最大或最小值也等于求出來(lái)了知識(shí)點(diǎn)歸納由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問(wèn)題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練1求函數(shù)解析式的

2、題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等2求函數(shù)定義域一般有三類問(wèn)題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實(shí)際問(wèn)題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；②若已知的定義

3、域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出3求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見(jiàn)函數(shù)值域；(2)求由常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域①直接法：利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x

4、x0}，值域?yàn)閧y

5、y0}；12二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧}；當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閧}②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化

6、為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來(lái)求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域⑨逆求法（反求法）：通過(guò)反解，用來(lái)表示，再由的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出的取值范圍；常用來(lái)解，型如：題型講解例1已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1);(2)分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，

7、故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2求x的取值范圍解：(1)由0＜x＜2，得說(shuō)明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法(2)是二種類型的綜合12求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到例2已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，則解：，，令且，故∴,故選取例3求下列函數(shù)的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函數(shù)的值域是{y

8、y

9、2}③∵∴即函數(shù)的值域是{y

10、y?R且y11}（此法亦稱分離常數(shù)法）④當(dāng)x>0，∴=，當(dāng)x<0時(shí)，=－12∴值域是[2，+)（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：∴值域是[2，+)例4求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），∴的值域?yàn)楦念}：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為∴函數(shù)，的值域?yàn)椋?）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為又∵，∴，故，∴的值域?yàn)椋?）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)椋嘣瘮?shù)的值域?yàn)?2（法二）分離變量法

11、：，∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域?yàn)檎f(shuō)明：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域?yàn)椋?）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)?2由得：①①當(dāng)即時(shí)，①即，∴②當(dāng)即時(shí)，∵時(shí)方程恒有實(shí)根，∴，∴且，∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?），∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)槔?求函數(shù)的值域12方法一：