定義域、值域、最大、最小值

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1、函數(shù)的定義域、值域最大、最小值1求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x

2、x0}，值域為{y

3、y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當(dāng)a>0時，值域為{}；當(dāng)a<0時，值域為{}②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值

4、域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域⑨逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：　2求函數(shù)定義域一般有三類問題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知

5、的定義域求的定義域：①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；②若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出3求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等題型講解例1已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1);(2)分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量由于

6、f(x)，f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2求x的取值范圍　解：(1)由0＜x＜2，得說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法(2)是二種類型的綜合求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到例2已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，則解：，，令且，故∴,故選取例3求下列函數(shù)的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]　

7、②∵∴即函數(shù)的值域是{y

8、y2}③∵∴即函數(shù)的值域是{y

9、y?R且y11}（此法亦稱分離常數(shù)法）④當(dāng)x>0，∴=，當(dāng)x<0時，=－∴值域是[2，+)（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：∴值域是[2，+)例4求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）　解：（1）（配方法），∴的值域為改題：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當(dāng)時，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時，原函數(shù)有最大值為∴函數(shù)，的值域為（2）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為又∵，∴，故，∴的值域為（3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，∴原函數(shù)的值域為

10、（法二）分離變量法：，∵，∴，∴函數(shù)的值域為?。?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域為說明：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為（6）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域為（7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為由得：①?、佼?dāng)即時，①即，∴②當(dāng)即時，∵時方程恒有實根，∴，∴且，∴原函數(shù)的值域為（8），∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立∴，∴原函數(shù)的值域為（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為　例5求函數(shù)的值域方法一：（判別式法）去分母得(y-1)+(y+5)x-6

11、y-6=0①當(dāng)y11時∵x?R∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0檢驗時（代入①求根）∵2?定義域{x

12、x12且x13}∴再檢驗y=1代入①求得x=2∴y11綜上所述，函數(shù)的值域為{y

13、y11且y1}方法二：（分離常數(shù)法）把已知函數(shù)化為函數(shù)(x12)由此可得y11∵x=2時即∴函數(shù)的值域為{y

14、y11且y1}例6?。ǚ侄魏瘮?shù)法及圖像法）求函數(shù)y=

15、x+1

16、+

17、x-2

18、的值域解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象，由圖象可知，函數(shù)的值域是{y

19、y3}　解法