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《9.1定積分概念 - 可積條件》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§3可積條件§4定積分的性質(zhì)§1定積分概念§5微積分學(xué)基本定理§2牛頓—萊布尼茨公式小結(jié)與習(xí)題第九章定積分§6定積分的計(jì)算一、問題的提出二、定積分的定義§9.1定積分概念三、定積分的幾何意義定積分的演示背景來源——面積的計(jì)算！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積？一般圖形的面積是什么我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時(shí)可旋轉(zhuǎn)）“典型圖形”面積的計(jì)算問題就產(chǎn)生了定積分一、問題提出1.曲邊梯形的面積設(shè)y=f(x)為區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=by=0所圍成的
2、圖形稱為曲邊梯形。下面討論曲邊梯形的面積對于多邊形的面積，我們在中學(xué)就已經(jīng)會(huì)計(jì)算了，例如矩形的面積=底×高顯然，曲邊梯形的面積不能用這個(gè)公式來計(jì)算。直與曲不變與變磚是直邊的長方體煙囪的截面是彎曲的圓“直的磚”砌成了“彎的圓”局部以直代曲abxyoabxyo雖然曲邊梯形的準(zhǔn)確面積我們不會(huì)計(jì)算，但是我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）從中可以得到一個(gè)什么樣的啟示？小曲邊梯形的底：小曲邊梯形的高：小曲邊梯形的面積：⑴分割用任意的一組分點(diǎn)：把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]i=1,2,…,n相應(yīng)地把曲邊梯形分為n個(gè)小曲邊梯形，其面積分別記為ΔSii=1,2
3、,…,n（化整為零）⑵近似代替在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi，其中（曲轉(zhuǎn)化為直）于是小曲邊梯形的面積⑶求和（積零為整）大曲邊梯形的面積⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形的面積（直轉(zhuǎn)化為曲）讓每個(gè)小區(qū)間的長度趨于零求曲邊梯形的面積體現(xiàn)了曲轉(zhuǎn)化為直、直轉(zhuǎn)化為曲的辯證思想。這個(gè)計(jì)算過程，就是一個(gè)先微分后積分的過程。也就是說，把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每個(gè)小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這些小“矩形”面積的和近似地表示原來大曲邊梯形的面積，從而實(shí)現(xiàn)了局部的曲轉(zhuǎn)化為局部的直，即“以直代曲”。然后，再把分割無限加細(xì)，通過取極限，就使小矩形面積的和，轉(zhuǎn)化為原來大曲邊梯形
4、的面積。這樣局部的直又反過來轉(zhuǎn)化為整體的曲。這種曲轉(zhuǎn)化為直，直轉(zhuǎn)化為曲，以及由此所反映出來的化整為零、積零為整的思想方法，是微積分乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法。F雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，F(xiàn)的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，F(xiàn)(x)AB變力做功的問題設(shè)質(zhì)點(diǎn)m受力的作用，在變力F的作用下，沿直線由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，求變力作的功⑴分割用任意的一組分點(diǎn)：把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[ti-1,ti]i=1,2,…,n⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一點(diǎn)ξi，于是在該小區(qū)間上的力作的功⑶求和總功⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為力所做的功從上面例子看出，不
5、管是求曲邊梯形的面積或是計(jì)算變力作的功，它們都?xì)w結(jié)為對問題的某些量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說都?xì)w結(jié)為形如的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個(gè)定義二、定積分的定義定義1:在[a,b]內(nèi)任取一組分點(diǎn)將[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間Δi=[xi-1,xi]i=1,2,…,n這些分點(diǎn)構(gòu)成[a,b]的一個(gè)分割，記為T={x0,x1,…,xn}={Δ1,Δ2,…,Δn}記Δxi=xi–xi-1，并稱為分割T的模稱此和式為f在[a,b]上的一個(gè)積分和，也稱為黎曼（Riemann）和定義2:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,
6、b]上有定義,對[a,b]的一個(gè)割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取點(diǎn)?i?Δi,i=1,2,…,n，作和定義3:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若任給的ε>0，總存在δ>0，使得對[a,b]的任何分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任意的?i?Δi,i=1,2,…,n，只要
7、
8、T
9、
10、<δ,就有則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上可積；數(shù)J稱為f在[a,b]上的定積分.記作也可用極限符號來表達(dá)定積分注1：積分和的極限與函數(shù)的極限有很大的區(qū)別積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多.注2：定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與積分變量記號無關(guān)規(guī)定當(dāng)a=b時(shí),規(guī)定當(dāng)a>b時(shí),與的差別是的
11、全體原函數(shù)是函數(shù)是一個(gè)和式的極限是一個(gè)確定的常數(shù)注3：注5．定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有注4.當(dāng)?shù)臉O限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)。f(x)[a,b]例1求在區(qū)間[0,1]上，以拋物線y=x2為曲邊的曲邊三角形的面積解由定積分的幾何意義，有因?yàn)槎ǚe分存在，對區(qū)間[0,1]取特殊的分割,等分成n等份,分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間的長度取則有與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；B.與區(qū)間無關(guān)
