中考專題三_最短路線問題怎么出、怎么考、怎么解

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1、最短路線問題考查知識點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。原型：“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。1、（2009年達(dá)州）在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.ADEPBC2、(2009年撫順市)如圖

2、所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（）A．B．C．3D．3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為（）A、B、C、D、3（動點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A＇，連A＇D交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、（07南通）已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對稱的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、D(3，－2)、P

3、三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在x軸上．(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求PM＋CM的取值范圍．ABO(第4題圖)DxyABO(第28題圖)Dxy·分析：轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等，我們也常常在不同的數(shù)學(xué)問題13之間互相轉(zhuǎn)化，可以說在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)轉(zhuǎn)化思想幾乎是無處不在的。本例第三問比較靈活，需要同學(xué)們結(jié)合所

4、學(xué)知識(特別要聯(lián)想到三角形三邊的關(guān)系及對稱的相關(guān)知識)靈活運(yùn)用．??解：(1)由A(0，1)、B(0，3)，得AB＝2．又△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸的正半軸上，得AB=AC=2，故OC==，從而C(，0)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋3，則k＋3＝0,.故k=－．∴直線BC的解析式為y＝－x＋3．(2)由拋物線y=ax＋bx＋c關(guān)于y軸對稱，得b=0．又由該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)、D(3，－2)，得c=1，9a+c=－2．解得a=－．∴拋物線的解析式為y=－x＋1．在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°；在Rt△BOC

5、中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°，故CA是∠BCO的角平分線．從而直線BC與x軸關(guān)于直線AC對稱，點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在x軸上，于是符合條件的P點(diǎn)就是直線BC與拋物線y=－x＋1的交點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,－x＋3)，代入y=－x＋1解得x=或x=2．∴P(，0)或P(2，－3)．(3)要求PM＋CM的取值范圍，可先求PM＋CM的最小值．①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，0)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故PM＋CM＝2CM．顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離．因?yàn)辄c(diǎn)M是y軸上的動點(diǎn)，PM＋CM沒有最大值，故PM＋CM≥2；②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，－3)時(shí)，由

6、點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C(－，0)，故只要求PM+MC的最小值．顯然線段PC最短，易得PC=6，故PM+MC的最小值是6．同理PM＋CM沒有最大值，PM＋CM≥6．??綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，0)時(shí)，PM＋CM≥2；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，－3)時(shí)，PM＋CM≥6．???點(diǎn)評：本例不僅將傳統(tǒng)的證明題改為以探究的形式進(jìn)行考查，重點(diǎn)由論證轉(zhuǎn)向發(fā)現(xiàn)、猜測和探究，體現(xiàn)了新課改的理念；而且要求利用軸對稱和兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)問題；此外，題目中還要運(yùn)到分類討論的思想，難度較大．在本例中，“動”是可變的條件，“靜”是不變的條件，動靜結(jié)合，以靜制動，動中求靜是解決

7、運(yùn)動問題的關(guān)鍵．??135、（09年新疆烏魯木齊市）如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動到何處，總造橋與相等；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)的距離最小時(shí)，試確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)，的周長最?。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長；yOxPDB（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵是的角平分線，∴，∴，∴．3分（2）過點(diǎn)作的平分線的垂線，垂足為，點(diǎn)即為所求．易知點(diǎn)的坐

8、標(biāo)為（2，2），故，作，∵是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）．yOxDBPEFM∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，