思科數(shù)學(xué)第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值

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1、第5講　函數(shù)的單調(diào)性與最值　　基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，①若f(x1)＜f(x2)，則f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；②若f(x1)＞f(x2)，則f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M，滿足：①對

2、于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.則稱M是f(x)的最大值．(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M，滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.則稱M是f(x)的最小值．一個防范函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)y＝分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接．

3、兩種形式設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．四種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論．(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性．雙基

4、自測1．(2011·揚州中學(xué)沖刺)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析　由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．答案　(2，＋∞)2．(2011·山東省青島市模擬)下列四個函數(shù)：①y＝；②y＝；③y＝－；④y＝x，其在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)的是________．解析　y＝，y＝－，y＝x分別是[0，＋∞)，(－∞，1]，(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，從而是(0,1)上的增函數(shù)，y＝是(0

5、,1)上的減函數(shù)．答案?、?．已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f＜f(1)的實數(shù)x的取值范圍是________．解析　由f(x)為R上的減函數(shù)且f＜f(1)，得即∴0＜x＜1或－1＜x＜0.答案　(－1,0)∪(0,1)4．(2011·鎮(zhèn)江市調(diào)研)函數(shù)f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域為________．解析　因為2x與log2x都是[1,2]上的增函數(shù)，所以f(x)＝2x＋log2x是[1,2]上的增函數(shù)，所以f(1)≤f(x)≤f(2)，即2≤f(x)≤5.答案　[2,5]5．(2011·

6、濟南外國語學(xué)校檢測)函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析　x≠0時，由y＝，x2－3x＋2≠0，且x＋在(－，0)和(0，)上遞減，得f(x)增區(qū)間為(－，1)和(1，)．答案　(－，1)和(1，)　　考向一　函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1】?判斷函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．[審題視點]可采用定義法或?qū)?shù)法判斷．解　法一　設(shè)x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).當≥x1＞x2＞0時，x1－x2＞0，＜0，有f(x1)－f(x2)

7、＜0，即f(x1)＜f(x2)，此時，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上為減函數(shù)；當x1＞x2≥時，x1－x2＞0，＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(，＋∞)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上為減函數(shù)；在[，＋∞)上為增函數(shù)．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0則1－＞0，∴x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，則1－＜0，∴－＜x＜，∵x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)在(0，)上為減函數(shù)；在(，＋∞)上為增函數(shù)，

8、也稱為f(x)在(0，]上為減函數(shù)；在[，＋∞)上為增函數(shù)．對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解；(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．但是，對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進行．【訓(xùn)練1】試討論函數(shù)f(x)＝(a＞0)的單調(diào)性．解　函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，1