函數(shù)的單調(diào)性與最值（講）

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1、第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性（1）.增函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).函數(shù)的最值1.最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大值.2.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值.對(duì)點(diǎn)練習(xí)函數(shù)f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間

2、上的最大值為________．【答案】3考點(diǎn)1單調(diào)性的判定和證明1.給定函數(shù)①，②，③，④.其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是()【答案】BA．①②B．②③C．③④D．①④【領(lǐng)悟技法】1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖像：只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；2.性質(zhì)法：（1）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)；（2）函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相反（）；時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相同（）.2.導(dǎo)數(shù)法：在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.4.定義法

3、：作差法與作商法（常用來函數(shù)單調(diào)性的證明，一般使用作差法）.【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性，還需注意斷點(diǎn)處兩邊函數(shù)值的大小比較.【變式一】下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是()【答案】AA.y＝－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex－x【變式二】定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上遞增，且f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為________.【答案】或1.的遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)是（）A.B.C.和D.【答案】D【領(lǐng)悟技法】1.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)圖象參數(shù)范圍單調(diào)區(qū)間或單調(diào)

4、性一次函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間二次函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.反比例函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為和單調(diào)遞增區(qū)間為和指數(shù)函數(shù)（且）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為對(duì)數(shù)函數(shù)（且）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為冪函數(shù)在上遞減沒有單調(diào)性在上遞增正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間余弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間正切函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間2.圖象法：對(duì)于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.復(fù)合函數(shù)法：對(duì)于函數(shù)，可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復(fù)合函數(shù)法來進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，

5、則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.4.導(dǎo)數(shù)法：不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【觸類旁通】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】和.考點(diǎn)3利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍1.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【答案】【領(lǐng)悟技法】1.解決抽象不等式時(shí)，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則.2.在比較、、、的大小時(shí)，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將、、、通過等值變形將自變量置于

6、同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小.【領(lǐng)悟技法】函數(shù)最值的求解方法：1.單調(diào)性法：考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值點(diǎn)，便可求出函數(shù)相應(yīng)的最值.2.圖象法：對(duì)于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值.3.分段函數(shù)的最值：將每段函數(shù)的最值求出，比較大小確定函數(shù)的最值.4.導(dǎo)數(shù)法：對(duì)于一般的可導(dǎo)函數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，并與端點(diǎn)值進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的最值.【觸類旁通】1.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是【答案】DA．B．C．D．