第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值

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1、第2講　函數(shù)的單調(diào)性與最值【2013年高考會這樣考】1．考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法．2．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．3．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)首先回扣課本，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，復(fù)習(xí)中重點(diǎn)掌握：(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用；(2)求函數(shù)最值的各種基本方法；對常見題型的解法要熟練掌握．基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)

2、f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右圖象是上升的自左向右圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件.①對于任意x∈I，都有f(x)≤M；①對于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.結(jié)論M為最大值M為最小值一個(gè)防范函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的

3、，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)y＝分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個(gè)定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接．兩種形式設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函

4、數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．四種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論．(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性．雙基自測1．設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(－2)＝0，則xf(x)＜0的解集為(　　)．A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)答案　C2．(2011·湖南)已

5、知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為(　　)．A．[2－，2＋]B．(2－，2＋)C．[1,3]D．(1,3)解析　函數(shù)f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必須使得－x2＋4x－3＞－1.即x2－4x＋2＜0，解得2－＜x＜2＋.答案　B3．(2012·保定一中質(zhì)檢)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足1，不等式等價(jià)于解得－1

6、答案　C4．(2011·江蘇)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是______．解析　要使y＝log5(2x＋1)有意義，則2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u為(0，＋∞)上的增函數(shù)，當(dāng)x＞－時(shí)，u＝2x＋1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案　5．若x＞0，則x＋的最小值為________．解析　∵x＞0，則x＋≥2＝2當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時(shí)，等號成立，因此x＋的最小值為2.答案　2　　考向一　函數(shù)的單調(diào)性的判斷【例1】?試討論函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性．[審題視點(diǎn)]可采用定義法或?qū)?shù)法判斷．解　法一　f(x)的定義域?yàn)镽，在定義域內(nèi)任取x1＜x2，

7、都有f(x1)－f(x2)＝－＝，其中x1－x2＜0，x＋1＞0，x＋1＞0.①當(dāng)x1，x2∈(－1,1)時(shí)，即

8、x1

9、＜1，

10、x2

11、＜1，∴

12、x1x2

13、＜1，則x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，∴f(x)為增函數(shù)．②當(dāng)x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)時(shí)，1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)為減函數(shù)．綜上所述，f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是減函數(shù)．法二　∵f′(x)＝′＝＝＝，∴由f′(x)＞0解得－1＜x＜1.由f′(x)＜0