實驗13-人口遷徙問題

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1、實驗13人口遷徙問題13.1實驗指導本實驗從人口遷移問題出發(fā)，討論了方程組、矩陣乘法、特制值特征向量、及矩陣對角化問題。并利用MATLAB軟件對線性代數(shù)理論進行了驗證。表13.1給出了與本實驗相關(guān)的MATLAB命令或函數(shù)。表13.1與本實驗相關(guān)的MATLAB命令或函數(shù)命令功能說明位置symsn定義符號變量n例13.1lamda.^n群運算，對矩陣lamda中所有元素進行冪運算例13.113.2實驗內(nèi)容例13.1假設(shè)一個城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有15％的郊區(qū)

2、居民搬到市區(qū)。若開始有700000人口居住在市區(qū)，300000人口居住在郊區(qū)。請利用MATLAB軟件分析：（1）10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。解：設(shè)第n年市區(qū)人數(shù)和郊區(qū)人數(shù)分別為：、，則第n＋1年的市區(qū)和郊區(qū)人數(shù)為：。用矩陣表示為：，進一步寫為：，矩陣，向量描述第n年該城市的市區(qū)和郊區(qū)人數(shù)。（1）根據(jù)，及開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)，可以得到10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：，在MATLAB命令窗口中輸入：A=[0.95,0.15;0.05

3、,0.85];X0=[700000;300000];X10=A^10*X0計算結(jié)果為：X10=1.0e+005*7.44632.5537可以知道，10年后市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。（2）同理可以得到30年后和50年后的人口分布：和。在MATLAB命令窗口中輸入：A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];X30=A^30*X0X50=A^50*X0計算結(jié)果為：X30=1.0e+005*7.49942.5006X50=1.0e+005*7.50002.5

4、000從計算結(jié)果可以看出30年后和50年后的市區(qū)和郊區(qū)人口分布非常接近。（3）若矩陣可以對角化，則可以利用矩陣對角化的方法來計算矩陣。設(shè)矩陣的特征值構(gòu)成的對角矩陣為，則總存在可逆矩陣，使得：，則，其中矩陣為的特征值所對應(yīng)的特征列向量所構(gòu)成的矩陣。那么有：?？梢岳肕ATLAB的符號運算來計算n年后該城市的人口分布情況。在MATLAB的M文件編輯器中編寫程序la24.m：%分析n年后城市人口分布A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];[P,lamda]=eig(A);sym

5、sn%定義符號變量nXn=P*lamda.^n*inv(P)*X0%.^n群運算，對矩陣lamda中所有元素進行冪運算在MATLAB命令窗口輸入：la24計算結(jié)果為：Xn=[750000-50000*(4/5)^n][250000+50000*(4/5)^n]從計算結(jié)果可以看出：當n越大，(4/5)^n就越近于零，則就趨近于，這就是為什么與接近的原因。13.3實驗習題1、李博士培養(yǎng)了一罐細菌，在這個罐子里存放著A、B、C三類不同種類的細菌，最開始A、B、C三種細菌分別有、2×、3×個。但這些細菌每天都要發(fā)生類型轉(zhuǎn)化，

6、轉(zhuǎn)化情況如下：A類細菌一天后有5％的變?yōu)锽類細菌、15％的變?yōu)镃細菌；B類細菌一天后有30％的變?yōu)锳類細菌、10％的變?yōu)镃類細菌；C類細菌一天后有30％的變?yōu)锳類細菌、20％的變?yōu)锽類細菌。請利用MATLAB軟件分析：（1）一周后李博士的A、B、C類細菌各有多少個？（2）兩周后和三周后李博士的A、B、C類細菌各有多少個？（3）分析在若干周后，李博士的各種細菌的個數(shù)幾乎不發(fā)生變化的原因。解：每天細菌的轉(zhuǎn)化方程可寫成其中T為轉(zhuǎn)化矩陣。于是程序可寫成：T=[0.8,0.15,0.05;0.3,0.6,0.1;0.3,0.2

7、,0.5],X0=[1;2;3]*10^8,X7=T^7*X0X14=T^14*X0程序運行結(jié)果為X7=1.0e+008*1.51211.52301.5247X14=1.0e+008*1.51661.51671.5167最后三種細菌趨向于數(shù)量相同。