例說構(gòu)造“載體”在數(shù)學解題中的應用

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1、例說構(gòu)造“載體”在數(shù)學解題中的應用315800浙江省寧波市北侖中學毛浙東數(shù)學知識之間是有緊密聯(lián)系的，這就要求我們在解決數(shù)學問題時要有開闊的眼界，要善于利用各種已學的知識，有時為了解決某個問題，不妨利用看似與其完全無關(guān)的其它數(shù)學知識當“載體”，往往可以漂亮地解決某些棘手的問題，給人以耳目一新的感覺?，F(xiàn)舉幾例，來說明構(gòu)造“載體”的獨特功效。一、構(gòu)造圖形載體根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系的幾何意義，以某種方式構(gòu)作圖形，將題設中的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式直接在圖形中得到體現(xiàn)，轉(zhuǎn)而利用幾何性質(zhì)使問題得到解決。例1、已知：0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求證：?分析：本題局限在代數(shù)不

2、等式范疇不易求解，但如果將題目中的式子賦予“形”的載體，則問題迎刃而解。?????????證明：構(gòu)造一邊長為1的等邊ΔABC，取AB，BC，CA上各一點D，E，F(xiàn)，并令AD=x，BE=y，CF=z，其中0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，則SΔADFSΔBDESΔCEFSΔADF+SΔBDE+SΔCEF＜SΔABC即成立。?例2、在三棱錐中，PA，PB，PC兩兩垂直，在底面ABC內(nèi)有一點M，點M到面PAB，面PBC，面PAC的距離分別為1，2，3，求點P到點M的距離。分析：乍一看題目挺復雜，輔助線也要添好幾條，給人很不舒服的感覺，但如果構(gòu)造長方體作載體，則點M到面PAB，

3、面PBC，面PAC的距離分別成為長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱，而所求PM長即為長方體的體對角線，問題馬上明朗化了。解：不妨構(gòu)造長方體，長方體從同一頂點M出發(fā)的三條棱長分別為1，2，3，所求結(jié)果為：PM=評注：構(gòu)造圖形載體能使模糊的題目變得清晰和明朗，給人酣暢淋漓的感覺，當然，是構(gòu)造平面圖形作載體還是立體圖形作載體，得視具體題目而定。二、構(gòu)造數(shù)列載體相當多的數(shù)學問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果。例3、已知求證：分析：此題證法很多，可以采用比較法，分析法，綜合法等，但總給人感覺落了俗套。觀察式子的結(jié)構(gòu)，頻頻出現(xiàn)的形式，讓人不覺聯(lián)想起無窮項等比數(shù)

4、列的求和公式：若則=。于是嘗試后構(gòu)造等比數(shù)列作載體來求解。證明：=同理，=+=評注：實際上，如果題目需要，等差，等比數(shù)列的通項公式或求和公式都可以被當作載體來用。三、構(gòu)造向量載體自從向量進入了高中教材之后，它的工具性的特點越來越明顯了。代數(shù)、幾何中的很多問題都可以利用向量這一工具作載體來解決。例4、求證不等式：分析：如果直接兩邊平方展開將會陷入復雜的計算泥潭中，分析后發(fā)現(xiàn)原式左邊的結(jié)構(gòu)與向量的數(shù)量積公式中的有雷同之處，于是構(gòu)造向量作載體，問題即可解決。證明：設則，，恒成立，也成立。評注：實際上，將上式拓展后就成為證明成立的問題了，即證明樣本相關(guān)系數(shù)，這顯然是正確的。四、構(gòu)

5、造排列組合載體排列組合中有很多經(jīng)典的模型，如果將其運用到其它知識中，那就實現(xiàn)了“建?！保瑢W會“建?！币彩切陆滩膶W生能力的一個重要要求。例5、求方程有多少組正整數(shù)解？?分析：直接求解情況比較復雜，但如果構(gòu)造一排列組合模型作載體，題目本質(zhì)沒有改變，而求解卻方便多了。解：原題可等價翻譯為：將6個形狀、大小、顏色完全相同的球放入四個不同的盒子中，每盒至少一個，共有多少種放法？一種放法對應著方程的一組解；反之，方程的任一組正整數(shù)解也對應著球在盒中的一種放法。于是采用“隔板法”：即6個球之間有5個空擋，從中選出3個空擋來放入隔板，共有種放法。即原方程有10組正整數(shù)解。評注：如果將原

6、題改為“有多少組非負整數(shù)解？”，則可構(gòu)造如下排列組合模型：從6個球和3塊隔板組成的9個位置中選3個放入隔板，有幾種放法？顯然答案為種。五、構(gòu)造函數(shù)載體所謂構(gòu)造函數(shù)，就是從問題本身的特點出發(fā)構(gòu)作一個新的輔助函數(shù)。再利用函數(shù)的性質(zhì)去求得問題的解決。很多數(shù)學命題要么難尋入口，要么繁冗復雜，若巧妙利用函數(shù)作載體，會使解答別具一格。例6、?已知，求證：分析：此題是一道不等式證明題，變量較多，難以突破，但如果尋找一主元，并以其為自變量構(gòu)造一個二次函數(shù)作載體，情況就不一樣了。證明：要證原不等式，只要證不妨以為主元構(gòu)造二次函數(shù)：此函數(shù)開口向上，其判別式0故其圖象在軸上方或軸上，顯然，即成

7、立，也即原不等式成立。例7、由10個元素組成的集合M={1，99，，0，25，，，19，，11}，記M的所有非空子集為M，，每一個M中所有元素的乘積為，且，求……+分析：此題如果把它純粹當作集合題來做，考慮情況太多，而且很容易重復或遺漏，但觀察到所求結(jié)果無非是所有單元素集合，兩元素集合，三元素集合……十元素集合的元素的乘積，很有規(guī)律，不妨構(gòu)造一個10次函數(shù)作載體，我們可以控制這個函數(shù)，讓其展開式和所求答案建立起一一對應。解：設集合M中10個元素分別為構(gòu)造函數(shù)=則就是所有單元素集合中元素之和，是所有兩元素集合中元素乘積之和，……