例說(shuō)構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

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1、例說(shuō)構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用226001江蘇省南通第一中學(xué)陳躍輝“構(gòu)造”是一種溝通條件與結(jié)論的創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)方法，是一種靈活且不墨守成規(guī)的思維方式.構(gòu)造思想在發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維能力方面的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了常規(guī)方法.應(yīng)用構(gòu)造法解題，常常不拘泥于常規(guī)方法，透過(guò)題設(shè)或結(jié)論的表面形式，弄清問(wèn)題本質(zhì)的一致性，用特定的視角尋求統(tǒng)一的解題模式或?qū)俚幕瘹w方法，從而構(gòu)建條件到結(jié)論之間的“中轉(zhuǎn)站”.教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)處觀察、思考問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題同構(gòu)、邏輯重組、等價(jià)化歸，這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維的能力十分重要.用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是：弄清題意

2、、在相去較遠(yuǎn)的條件和結(jié)論之間架設(shè)“橋梁”.下面舉例說(shuō)明構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用.1、構(gòu)造輔助不等式例1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y滿足：x2-3xy＋4y2＝9，則xy的最大值為，最小值為.解：由(x-2y)2≧0得x2＋4y2≧4xy,x2-3xy＋4y2≧4xy-3xy，即xy≦9所以當(dāng)，即或時(shí)，(xy)max＝9；由(x＋2y)2≧0得x2＋y2≧-4xy，x2-3xy＋y2≧-4xy-3xy，即xy≧-所以當(dāng)，即或時(shí)，(xy)min＝-.評(píng)注：這道題目是條件最值問(wèn)題，直接用基本不等式求xy的最大值是常規(guī)解法.而求xy的最小值似乎難

3、以入手.在教學(xué)中，若引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式：“若a、b是任意實(shí)數(shù)，則a2＋b2≧2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab)”的背景知識(shí)進(jìn)行深入的挖掘，學(xué)生不難想到：若a、b是任意實(shí)數(shù)，則a2＋b2≧-2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝-b時(shí)，a2＋b2＝-2ab).交給學(xué)生推理的方法，就是授人于“漁”.2、構(gòu)造輔助圖形例2.已知x、y是任意實(shí)數(shù)，求證：＋＋＋≧4證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy下，所要證明的不等式的左邊的幾何意義是：yxOABCP點(diǎn)P(x,y)到邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的各個(gè)頂點(diǎn)的距離的和：PO＋PA＋PB＋PC，其中O(0,

4、0),A(2,0),B(2,2),C(0,2).連結(jié)OB、AC，由平面幾何知識(shí)容易知道：PO＋PB≧OB＝2(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)取等號(hào))PA＋PC≧AC＝2(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)取等號(hào))兩式相加，得PO＋PA＋PB＋PC≧4＋＋＋≧4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào))評(píng)注：這道證明不等式的題目，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，可利用不等式的數(shù)字結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其幾何意義，構(gòu)造圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想和平面幾何的有關(guān)知識(shí)證得.3、構(gòu)造輔助數(shù)列例3.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an+2×3n，n?N＊.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)

5、公式.解：由an＋1＝3an+2×3n，n?N＊，兩邊同除以3n+1，得=＋，令bn＝，則bn＋1-bn=，所以，數(shù)列{bn}成等差數(shù)列，且首項(xiàng)b1＝，公差d＝所以，bn＝＝＋(n-1)?所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝(2n-1)3n-1.評(píng)注：數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，將遞推公式的兩邊同除以3n+1后，利用換元法構(gòu)造出等差數(shù)列{bn}，問(wèn)題也就迎刃而解了.4、構(gòu)造輔助平面例4．已知：在△ABC與△A1B1C1中,直線AB∩直線A1B1＝點(diǎn)P,直線BC∩直線B1C1＝點(diǎn)Q,直線AC∩直線A1C1＝點(diǎn)R.

6、求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.A1baABCB1C1PQR證明：因△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C不共線，由公理3得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C可作平面a.同理：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、C1可作平面b.因?yàn)橹本€AB∩直線A1B1＝點(diǎn)P,所以，P?直線AB，P?直線A1B1，又ABìa，A1B1ìb，所以，P?a，P?b，即點(diǎn)P是平面a與平面b的公共點(diǎn).同理：點(diǎn)Q、點(diǎn)R也是平面a與平面b的公共點(diǎn).由公理2得P、Q、R三點(diǎn)共線于平面a與平面b的交線.評(píng)注：證空間三點(diǎn)共線，常常將這三點(diǎn)歸結(jié)為兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn).由題意，自然想到構(gòu)造輔助平面.5、構(gòu)造輔助方程

7、例5.已知：實(shí)數(shù)x、y、z滿足，求x的取值范圍.解：由①，得yz=x2-8x＋7，③由②，得y2＋z2＋yz=6x-6，④③＋④，得(y＋z)2＝x2-2x＋1＝(x-1)2，所以，y＋z＝±(x-1)⑤利用③、⑤構(gòu)造關(guān)于t的一元二次方程：t2±(x-1)t＋x2-8x＋7＝0.此方程有實(shí)數(shù)根y、z的充要條件是：△＝[±(x-1)]2-4(x2-8x＋7)=-3(x2-10x＋9)≧0解得，實(shí)數(shù)x的取值范圍是：[1，9].評(píng)注：由關(guān)于實(shí)數(shù)x、y、z的方程組求x的取值范圍，關(guān)鍵是：消去y、z，尋找關(guān)于x的約束條件.用x表示y、z

8、較難，但注意到可以用x表示yz和y＋z，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，“逆用”韋達(dá)定理構(gòu)造輔助方程，用整體的思想解得.6、構(gòu)造輔助函數(shù)例6.已知：x、y、z是同一三角形的三邊.求證：＋>證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝＝1-，x?(0，＋∞).當(dāng)x>0時(shí)，f￠(x)＝>0恒成立.所以,函數(shù)f