優(yōu)化解題思維 避免分類討論

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1、優(yōu)化解題思維避免分類討論尚月如分類討論思想是高考考查的重要思想之一，但是，如果仔細深入研究這些問題后，會發(fā)現(xiàn)許多用分類討論方法解決的問題有時是可以避免討論的。本文通過實例介紹避免分類討論的一些優(yōu)化策略，供大家參考。一、直接回避例1設等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，若成等差數(shù)列，則q的值為____________。分析：如果利用等比數(shù)列前n項和公式求解，則需要對公比q=1和q≠1兩種情況進行討論。注意到，代入已知條件，成等差數(shù)列，即可避免分類討論，使問題容易得到解決。解：因成等差數(shù)列，又，，所以，可得。而，則。評析：對于涉及等比數(shù)列前n項和的問題，若能直接運用已知條件中各個量

2、的關(guān)系求解，既可避免討論又可使問題得到靈活解決。二、等價轉(zhuǎn)換例2若方程有解，求實數(shù)a的取值范圍。分析：若原方程化為，令，，得＋a－1=0為t的一元二次方程，若對此方程恰有一根或恰有兩根在區(qū)間［－1，1］上進行討論，則過程較繁。注意到，只要a在的值域范圍內(nèi)原方程即有解，可避免討論。解：由，且，可得，即時，此方程有解，故實數(shù)a的取值范圍是。評析：對于已知方程或不等式有解，求參數(shù)取值范圍的問題，若能轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，既可避免討論又可使問題變得簡單易解。三、變更主元例3當時，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。分析：若用常規(guī)方法，以x為主元，則需分類討論，故可以考慮變更主元，以m

3、為主元，可避免討論。第3頁（共3頁）解：原不等式可化為，令。原不等式等價于對恒成立，故有，解得，即（）。四、正難則反例4已知函數(shù)，若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使，求實數(shù)p的取值范圍。分析：若從正面考慮，則要討論函數(shù)f(x)在區(qū)間［－1，1］內(nèi)存在一個實數(shù)或兩個實數(shù)，使得。若從反面考慮，則可避免討論。解：若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)不存在實數(shù)c，使，則只需，即，解得。故符合題意的p的取值范圍是。五、數(shù)形結(jié)合例5當時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：如果求二次函數(shù)在（－1，1）上的最小值，分三種情況進行討論，解題過程不但比較復雜，而且容易出錯。若利用圖形

4、的位置關(guān)系求解，則一目了解。解：原命題等價于不等式時恒成立。作在－1

5、在上式中依次令k=0，1，2，…，2007可得。第3頁（共3頁）