如何避免“分類討論”

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1、如何避免“分類討論”浙江省紹興縣鑒湖中學(xué)周張?！胺诸愑懻摗笔且环N重要的數(shù)學(xué)思想，許多問(wèn)題都離不開分類討論。但有些問(wèn)題若能認(rèn)真審題，深刻反思，克服思維定勢(shì)，變換思維角度，往往可以避免分類討論，使問(wèn)題的解決更為簡(jiǎn)捷。現(xiàn)采擷幾例，供參考。一、運(yùn)用最值思想，避免分類討論例1：奇函數(shù)是R上的減函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：，且是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，得到（1），可得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要k小于的最小值即可。令，因?yàn)樵冢?，）上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，顯然有，即∴k的取值范圍為（-∞，2）點(diǎn)評(píng)：按照常規(guī)思路，由（1）式轉(zhuǎn)化為

2、在上恒成立問(wèn)題，可令，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱軸位置的變化，進(jìn)行分類討論，得到：或或解得或或，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）。這樣解就顯得比較煩瑣，因?yàn)橛行┎坏仁皆趨^(qū)間上的“恒成立”問(wèn)題，一般通過(guò)分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解。就可以避免分類討論，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷，少走彎路。二、妙用換底公式，避免分類討論例2：設(shè)，且，比較與的大小。分析：本例通常應(yīng)分與兩種情況討論，但運(yùn)用換底公式消去a，就可避免分類討論，從而達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。解：運(yùn)用作商比較法，，，三、變換主元地位，避免分類討論例3：設(shè)不等式對(duì)于滿足的一切

3、m的值都成立，求m的取值范圍。分析：本例為含參數(shù)的不等式，關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理，從表面上看，是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為［-2，2］，求參數(shù)的范圍。因此通過(guò)參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助于一次函數(shù)圖象，避免了繁雜的對(duì)參數(shù)的討論。解：設(shè)，它是以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象為直線，由題意知，這條直線當(dāng)時(shí)，線段在y軸的下方，滿足它的為即四、借助函數(shù)性質(zhì)，避免分類討論例4：設(shè)定義在［-2，2］上的偶函數(shù)在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞減，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：由函數(shù)的定義域知，

4、但是與m到底是在［-2，0］、［0，2］的哪個(gè)區(qū)域內(nèi)，不十分清楚，若就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到性質(zhì)“如果是偶函數(shù)，那么”，問(wèn)題解答就簡(jiǎn)捷多了。解：是偶函數(shù)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，解得點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)，從而避免了一場(chǎng)“大規(guī)?！钡挠懻?，將“曲徑”變“通途”。值得深思。年級(jí)　高中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題　　如何避免“分類討論”分類索引號(hào)　　G.622.46分類索引描述　　輔導(dǎo)與自學(xué)主題詞　　如何避免“分類討論”欄目名稱　專題輔導(dǎo)供稿老師審稿老師錄入張玲一校陳麗娜二校審核