(條件極值)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法

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1、多元函數(shù)的極值和最值條件極值拉格朗日乘數(shù)法小結(jié)思考題作業(yè)第八節(jié)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點(diǎn)附近將函數(shù)值比大小.定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.設(shè)在點(diǎn)P0的某個鄰域,為極大值.則稱多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2注函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時,極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.多元函數(shù)的極值與

2、拉格朗日乘數(shù)法3例例例函數(shù)存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極小值.在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無極值.橢圓拋物面下半個圓錐面馬鞍面在簡單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法42.極值的必要條件證定理1(必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)都有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法說明一元函數(shù)有極大值,必有類似地可證5推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn),駐點(diǎn).如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,駐點(diǎn),但不

3、是極值點(diǎn).注63.極值的充分條件定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒有極值;(3)可能有極值,也可能無極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法7求函數(shù)極值的一般步驟:第一步解方程組求出實數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步對于每一個駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步定出的符號,再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法8例解又在點(diǎn)(0,0)處,在點(diǎn)(a,a)處,故故即的極值.在(0,0)無極值;在(a,a)有極大值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9解練習(xí)求由方程將方程兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條

4、件知,駐點(diǎn)為將上方程組再分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一10故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以11求由方程多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解練習(xí)法二配方法方程可變形為于是顯然,根號中的極大值為4,※由※可知,為極值.即為極大值,為極小值.12取得.然而,如函數(shù)在個別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時,除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函

5、數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法13多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2003年考研數(shù)學(xué)(一),4分選擇題已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù),則(A)點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).14其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1

6、5解(1)求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)由于所以函數(shù)在D內(nèi)無極值.(2)求函數(shù)在D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D16＊在邊界線＊在邊界線由于最小,由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.有駐點(diǎn)函數(shù)值有單調(diào)上升.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D17＊在邊界線所以,最值在端點(diǎn)處.由于函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D18解練習(xí)此時的最大值與最小值.駐點(diǎn)得多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法上在求4:94),(2222￡+++=yxDyxyxf19對自變量有附加條件的極值.其他條件.無條件極值對自變量除了限制在定

7、義域內(nèi)外,并無條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法20解例已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時長方體的體積最大？設(shè)長方體的長、寬、高分別為由題意長方體的體積為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時長方由于V在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn),21上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法有時條件極值