條件極值與拉格朗日乘數(shù)法資料

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1、§4條件極值一、何謂條件極值在討論極值問題時(shí)，往往會(huì)遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點(diǎn)到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.現(xiàn)在的問題是要求出曲面上的點(diǎn)使為最小.即問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題.又如，在總和為C的幾個(gè)正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件的限制下，求函數(shù)的極小值問題。這類問題叫做限制極值問題（條件極值問題）.例1要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的長方體形開口水箱.確定長、寬和高,使水箱的表面積最小.分別以、和表示水箱的長、寬和高,該例可表述為:在約束條件之下求函數(shù)的最小值.條件極值問題的一般形式是在條件組限制下，求

2、目標(biāo)函數(shù)的極值.對(duì)這種問題的解法有:化為無條件極值.例1由解出,并代入函數(shù)中,得到,然后按,求出穩(wěn)定點(diǎn),并有,最后判定在此穩(wěn)定點(diǎn)上取的最小面積.然而,在一般情形下條件組中解出個(gè)變?cè)⒉豢偸强赡艿?下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法就是一種不直接依賴消元而求解條件極值問題的有效方法.二、條件極值的必要條件設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值.當(dāng)滿足約束條件的點(diǎn)是函數(shù)的條件極值點(diǎn),且在該點(diǎn)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時(shí),由方程決定隱函數(shù),于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn),有.代入,就有,即,亦即(,),).可見向量(,)與向量,)正交.注意到向量,)也與向量,)正交,即得向量(,)與向量,)線性相關(guān),即存在實(shí)數(shù),使(,)+,

3、).亦即三、Lagrange乘數(shù)法:由上述討論可見,函數(shù)在約束條件之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組的解.引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù),(稱其中的實(shí)數(shù)為Lagrange乘數(shù))則上述方程組即為方程組下面以三元函數(shù),兩個(gè)約束條件為例介紹Lagrange乘數(shù)法的一般情況.例2求函數(shù)在條件下的極值。解令,,,得,（1）又,（2）,（3）由（1）得，,當(dāng)時(shí)得，故得，代入（2）（3）式得,.解得穩(wěn)定點(diǎn)，.由對(duì)稱性得，也是穩(wěn)定點(diǎn).四、用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問題舉例:例3用拉格朗日乘數(shù)法重新解決:求容積為的長方體形開口水箱的最小表面積.解這時(shí)所求的問題的拉格朗日函數(shù)是對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于0:求上述方程

4、組的解,得.依題意,所求水箱的表面積在所給條件下確實(shí)存在最小值.由上可知,當(dāng)高為,長與寬為高的2倍時(shí),表面積最小.最小值.例4拋物面被平面截成一個(gè)橢圓.求該橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離.例5求函數(shù)在條件.下的極小值;并證明不等式,其中為任意正常數(shù).解設(shè)拉格朗日函數(shù)為.對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于0,則有由上述方程組的前三式,易得.從而函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為,.為了判斷是否為所求條件極(小)值,我們可把條件看作隱函數(shù)(滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件),并把目標(biāo)函數(shù)看作與的復(fù)合函數(shù).這樣,就可應(yīng)用極值充分條件來做出判斷.為此計(jì)算如下:,,,.當(dāng)時(shí),,.由此可見,所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn),而且可以驗(yàn)證是最小值點(diǎn).這樣

5、就有不等式.令,則,代入上不等式有或.用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題的一般步驟如下:(1)根據(jù)問題意義確定目標(biāo)函數(shù)與條件組.(2)作拉格朗日函數(shù),其中的個(gè)數(shù)即為條件組的個(gè)數(shù).(3)求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn),即通過令,求出所有的穩(wěn)定點(diǎn),這些穩(wěn)定點(diǎn)就是可能的極值點(diǎn).(4)對(duì)每一個(gè)可能的條件極值點(diǎn),據(jù)理說明它是否確實(shí)為條件極值點(diǎn).如果已知某實(shí)際問題或根據(jù)條件確有極值,而該問題的拉格朗日函數(shù)又只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn),且在定義域的邊界上(或逼近邊界時(shí))不取得極值,則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)就是所求的條件極值點(diǎn).否則,還需要采用無條件極值的充分條件來判定.