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《多元函數(shù)極值與拉格朗日乘數(shù)法.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、多元函數(shù)的極值和最值條件極值拉格朗日乘數(shù)法小結第八節(jié)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1極大值和極小值的定義和一元函數(shù)一樣，極值是局部概念定義點P0為函數(shù)的極大值點.類似可定義極小值點和極小值.設在點P0的某個空心鄰域,為極大值.則稱一、多元函數(shù)的極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值.極值點.2例例例在(0,0)點取極小值.在(0,0)點取極大值.(也是最大值).在(0,0)點無極值.橢圓拋物面下半圓錐面馬鞍面函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)3二元函數(shù)極值的必要條件定理則推廣如果三元函數(shù)具有偏導數(shù),則它在有極值的必要條件:一階偏導數(shù)同時為零的點駐點:41、駐點具有偏導的極值
2、點如,駐點,但不是極值點.說明例但(0,0)是函數(shù)的極大值點.也可能是極值點.在點(0,0)處的偏導數(shù)不存在,2、偏導數(shù)不存在的點，5二元函數(shù)極值的充分條件定理有二階連續(xù)偏導數(shù),(1)是極值,為極大值,為極小值;(2)不是極值;(3)可能是極值,也可能不是極值.則6求函數(shù)極值的一般步驟:第一步解方程組求出實數(shù)解,得駐點.第二步對于每一個駐點求出二階偏導數(shù)的值第三步定出的符號,再判定是否是極值.7例解在點(0,0)處,在點(a,a)處,的極值.不是極值;是極大值。①解方程組②求的符號③定出8解求由方程將方程兩邊分別對x,y求偏導數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件,令得駐點為法1代入原方程,練習9f(1,
3、－1)是極值.將上方程組再分別對x,y求偏導數(shù),在駐點代入方程組，得10為極小值;為極大值.f(1,－1)是極值.11求由方程法2初等配方法方程可變形為根號中的極大值為4,為極值.為極大值,為極小值.12最大者即為最大值,最小者即為最小值.求二元連續(xù)函數(shù)在有界閉域D內(nèi)的最值的一般步驟:①求函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點②求函數(shù)在D的邊界上的嫌疑點③將所有嫌疑點的函數(shù)值相互比較,二、多元函數(shù)的最值及其應用13解(1)求函數(shù)在D內(nèi)的駐點（嫌疑點）由于所以函數(shù)在D內(nèi)無極值點.(2)求函數(shù)在D邊界上的嫌疑點(最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例D14①在邊界線②在邊界線最小,又在端點(1,
4、0)處,最大.有駐點函數(shù)值有單調(diào)上升.D15③在邊界線所以,最值在端點處.函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較D為最小值;為最大值.16解練習1718解練習此時的最大值與最小值.駐點得上在求4:94),(2222￡+++=yxDyxyxf19對自變量有約束條件的極值.條件極值三、多元函數(shù)的條件極值求條件極值的方法①代入法②拉格朗日乘數(shù)法20解例已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時長方體的體積最大？設長方體的長、寬、高分別為由題意長方體的體積為(1)代入(1)式(目標函數(shù))(約束條件)21已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時長方體的體積最大？且長方體體積一定有最大值,長方體體
5、積最大.故當?shù)拈L、寬、高都為6時,由于V在D內(nèi)只有一個駐點,22上例的條件極值問題,但并不是所有情況下都能這樣做，更多時候拉格朗日乘數(shù)法說明是通過將約束條件代入目標函數(shù)中求解;一般方法——用到的是下面要介紹的，解決條件極值問題的23在條件求函數(shù)下的可能極值點,先構造拉格朗日函數(shù)令解出其中就是可能的極值點的坐標.實際問題中,可根據(jù)問題本身來判定所求點是否為極值點.Lagrange(拉格朗日)乘數(shù)法24推廣:約束條件多于一個的情況.自變量多于兩個，目標函數(shù)約束條件例拉格朗日函數(shù)25令滿足方程的是可能的極值點的坐標.26解則27解為所求切點坐標,令則的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面的使切平面與三個
6、坐標面所圍成的例切平面,四面體體積最小,求切點坐標.28目標函數(shù)該切平面在三個軸上的截距各為化簡為四面體的體積約束條件29約束條件目標函數(shù)令可得為簡化計算,令30可得所以當切點坐標為四面體的體積最小目標函數(shù)因為最小的四面體體積存在,唯一解31練習解為此作拉格朗日乘函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點;在圓上的最大、最小值.9)2()2(2222￡-+-+=yxyxz在圓求函數(shù)32最大值為最小值為]9)2()2[(),(2222--+-++=yxyxyxLl22yxz+=函數(shù)上，在圓9)2()2(22￡-+-yx33解為簡化計算,令是曲面上的點,它與已知點的距離為目標函數(shù)約束條件設練習
7、34(1)(2)(3)(4)35由于最短距離存在，得唯一駐點36例解拉格朗日乘數(shù)法.法137得38即得唯一駐點根據(jù)題意距離的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一駐點,39法2為旋轉(zhuǎn)拋物面上任一點,為平面上任一點.由兩點間距離公式有令40設P(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)拋物面法向量上的任一點.法341多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結42作業(yè)習題8-8(
