微分幾何期末復(fù)習(xí)題

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1、微分幾何復(fù)習(xí)題一、填空題1.向量具有固定方向，則=。2.非零向量滿足的充要條件是。3.若向量函數(shù)滿足，則具有固定。4.曲線的正常點是指滿足的點.5.曲線在任意點的切向量為。6.曲線在點的切向量為。7.曲線在點的切向量為。8.設(shè)曲線在P點的切向量為，主法向量為，則過P由確定的平面是曲線在P點的。9.若是曲線的正則點，則曲線在的密切平面方程是。10.曲線在點的單位切向量是，則曲線在點的法平面方程是。11.一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率。12.曲線在t=1點處有，則曲線在t=1對應(yīng)的點處其撓率=。13.曲線x=cost，y=sint,z

2、=t在t=0處的切線方程是。14.曲線的主法向量的正向總是指向。15.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量。16.曲線={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的點不是正常點的是t=。17.曲線的曲率是。18.曲線的撓率是。19.一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是。20.曲率為0的曲線是,撓率為0的曲線是。21.設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為。22.設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為。23.曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都是的的不變量。24.在旋轉(zhuǎn)曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。25.若點(u0,v0)為曲面的正則點，則在(u0,v0)滿足。26.曲

3、面在點的法線方程是。27.直紋面的參數(shù)表示總可以寫成。28.如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為。29.曲面上一族坐標(biāo)曲線是測地線，另一族為它的正交軌線的坐標(biāo)網(wǎng)是。31.已知曲面的第一類基本量為E、F、G，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是。32.對曲面有,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t(t>)的弧長s=。33.若曲面在(0，1)點處的第二基本形式，則在(0，1)點處，。其中為曲面的單位法向量。34.已知曲面的第二類基本量L、M、N，則曲面上漸近曲線的微分方程是。35.若曲面的第一基本形式為，曲面在一點的切向與u

4、-線的夾角為,則曲面在這點沿切方向的測地曲率=。36.撓率的曲線其副法向量是常向量。37.曲線在點的主法向量是，則曲線在P點的從切平面方程是。38.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是39.曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為。40.半徑為R的球面的高斯曲率K=。41.一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的恒等于零。42．在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之和。43．球面上，線是球面上的緯圓。44．在曲面上圓點，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系。45．曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是。38．曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)

5、的充要條件是。46．極小曲面是指的曲面。47．曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的的最大值和最小值.48．兩個曲面之間的變換是保角變換的充要條件是。49．設(shè)曲面在點P處有兩個同號的主曲率，則按高斯曲率的符號分類，此點是曲面的。50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是曲面的方向.51．距離單位球面球心距離為d(0

6、小值的方向是方向.54．平面的第一基本形式為。55．懸鏈面的第一類形式是。56．曲面上坐標(biāo)曲線，的交角的余弦值是。57．正螺面的第一基本形式是。58．雙曲拋物面的第一基本形式是。59．正螺面的平均曲率。60．函數(shù)是主曲率的充要條件是。61．方向是主方向的充要條件是。62．根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。63．旋轉(zhuǎn)曲面中的極小曲面必是平面或。64．空間曲面的基本公式中的Gauss公式是,Weingarten公式是。65．設(shè)曲面S上的曲線C在P點的曲率為k,測地曲率為kg,法曲率為kn,則它們之間手關(guān)系是

7、。66．設(shè)曲面S上的曲線C在P點的曲率為k,測地曲率為kg,切方向上的法曲率為kn,則它們之間手關(guān)系是。67．如果曲面S上的存在直線,則此直線的測地曲率為。68．測地線的方程為。69．簡單光滑閉曲線的Gauss-Bonnet公式是。70．逐段光滑簡單閉曲線的Gauss-Bonnet公式是。二、單項選擇題1.下面各量中,不是內(nèi)蘊(yùn)量的是()A.曲面上曲線的曲率；B.曲面上曲線的測地曲率；C.曲面上測地三角形的內(nèi)角和；D.曲面的高斯曲率。2.圓柱螺線在點的切線為()A．；B.；C.；D.。3.圓柱螺線的切線與軸()Ａ.平行；　　　　　　　Ｂ.垂直

8、；Ｃ.有固定夾角；　　?。?有固定夾角。4.設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的基本向量．下列敘述錯誤的是()Ａ.為單位向量；　　　Ｂ.；Ｃ.；　　　　?。?。5.直線的曲率k為(