微分幾何期末復(fù)習(xí)題

微分幾何期末復(fù)習(xí)題

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1、微分幾何復(fù)習(xí)題一、填空題1.向量具有固定方向,則=。2.非零向量滿足的充要條件是。3.若向量函數(shù)滿足,則具有固定。4.曲線的正常點(diǎn)是指滿足的點(diǎn).5.曲線在任意點(diǎn)的切向量為。6.曲線在點(diǎn)的切向量為。7.曲線在點(diǎn)的切向量為。8.設(shè)曲線在P點(diǎn)的切向量為,主法向量為,則過(guò)P由確定的平面是曲線在P點(diǎn)的。9.若是曲線的正則點(diǎn),則曲線在的密切平面方程是。10.曲線在點(diǎn)的單位切向量是,則曲線在點(diǎn)的法平面方程是。11.一曲線的副法向量是常向量,則這曲線的撓率。12.曲線在t=1點(diǎn)處有,則曲線在t=1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處其撓率=。13.

2、曲線x=cost,y=sint,z=t在t=0處的切線方程是。14.曲線的主法向量的正向總是指向。15.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量。16.曲線={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的點(diǎn)不是正常點(diǎn)的是t=。17.曲線的曲率是。18.曲線的撓率是。19.一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是。20.曲率為0的曲線是,撓率為0的曲線是。21.設(shè)有曲線,當(dāng)時(shí)的切線方程為。22.設(shè)有曲線,當(dāng)時(shí)的切線方程為。23.曲面上曲線的弧長(zhǎng),交角,曲面域的面積等都是的的不變量。24.在旋轉(zhuǎn)曲面中,是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。25

3、.若點(diǎn)(u0,v0)為曲面的正則點(diǎn),則在(u0,v0)滿足。26.曲面在點(diǎn)的法線方程是。27.直紋面的參數(shù)表示總可以寫(xiě)成。28.如果曲線族和曲線族處處不相切,則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為。29.曲面上一族坐標(biāo)曲線是測(cè)地線,另一族為它的正交軌線的坐標(biāo)網(wǎng)是。31.已知曲面的第一類基本量為E、F、G,則兩方向du:dv與垂直的充要條件是。32.對(duì)曲面有,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t(t>)的弧長(zhǎng)s=。33.若曲面在(0,1)點(diǎn)處的第二基本形式,則在(0,1)點(diǎn)處,。其中為曲面的單位法向量。34.已知曲面的第

4、二類基本量L、M、N,則曲面上漸近曲線的微分方程是。35.若曲面的第一基本形式為,曲面在一點(diǎn)的切向與u-線的夾角為,則曲面在這點(diǎn)沿切方向的測(cè)地曲率=。36.撓率的曲線其副法向量是常向量。37.曲線在點(diǎn)的主法向量是,則曲線在P點(diǎn)的從切平面方程是。38.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是39.曲面上一曲線,如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向,則稱該曲線為。40.半徑為R的球面的高斯曲率K=。41.一個(gè)曲面為可展曲面的充分必要條件是它的恒等于零。42.在可展曲面上,測(cè)地三角形的三內(nèi)角之和。43.球面上,線是球面上

5、的緯圓。44.在曲面上圓點(diǎn),其第一、第二類基本量滿足關(guān)系。45.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是。38.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)的充要條件是。46.極小曲面是指的曲面。47.曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的的最大值和最小值.48.兩個(gè)曲面之間的變換是保角變換的充要條件是。49.設(shè)曲面在點(diǎn)P處有兩個(gè)同號(hào)的主曲率,則按高斯曲率的符號(hào)分類,此點(diǎn)是曲面的。50.法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是曲面的方向.51.距離單位球面球心距離為d(0

6、面的交線的曲率為,法曲率為。52.在臍點(diǎn)處曲面的第一、第二類基本量滿足,把第二類基本量L=M=N=0的臍點(diǎn)稱為。53.法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是方向.54.平面的第一基本形式為。55.懸鏈面的第一類形式是。56.曲面上坐標(biāo)曲線,的交角的余弦值是。57.正螺面的第一基本形式是。58.雙曲拋物面的第一基本形式是。59.正螺面的平均曲率。60.函數(shù)是主曲率的充要條件是。61.方向是主方向的充要條件是。62.根據(jù)羅德里格定理,如果方向是主方向,則,其中是曲面沿方向(d)的法曲率

7、。63.旋轉(zhuǎn)曲面中的極小曲面必是平面或。64.空間曲面的基本公式中的Gauss公式是,Weingarten公式是。65.設(shè)曲面S上的曲線C在P點(diǎn)的曲率為k,測(cè)地曲率為kg,法曲率為kn,則它們之間手關(guān)系是。66.設(shè)曲面S上的曲線C在P點(diǎn)的曲率為k,測(cè)地曲率為kg,切方向上的法曲率為kn,則它們之間手關(guān)系是。67.如果曲面S上的存在直線,則此直線的測(cè)地曲率為。68.測(cè)地線的方程為。69.簡(jiǎn)單光滑閉曲線的Gauss-Bonnet公式是。70.逐段光滑簡(jiǎn)單閉曲線的Gauss-Bonnet公式是。二、單項(xiàng)選擇題1.

8、下面各量中,不是內(nèi)蘊(yùn)量的是()A.曲面上曲線的曲率;B.曲面上曲線的測(cè)地曲率;C.曲面上測(cè)地三角形的內(nèi)角和;D.曲面的高斯曲率。2.圓柱螺線在點(diǎn)的切線為()A.;B.;C.;D.。3.圓柱螺線的切線與軸()A.平行;      ?。?垂直;C.有固定夾角;  ?。?有固定夾角。4.設(shè)有平面曲線,為自然參數(shù),是曲線的基本向量.下列敘述錯(cuò)誤的是()A.為單位向量;  ?。?;C.;     D.。5.直線的曲率k為(

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