顧沛漫談數(shù)學(xué)文化

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1、顧沛:漫談數(shù)學(xué)文化?“十三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法也許都會(huì)被忘記，但是形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻終身受用?！庇捎跀?shù)學(xué)教學(xué)方式和內(nèi)容的局限，盡管一個(gè)人經(jīng)歷至少長達(dá)13年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但對數(shù)學(xué)的精髓卻毫無概念，在宏觀上把握數(shù)學(xué)的能力較差，也就是所謂的數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差。甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解題，考試，而不了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。?談到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題時(shí)，顧沛講到自己已經(jīng)成功地在南開大學(xué)開設(shè)了數(shù)學(xué)文化課程，他說，之所以開設(shè)這門課程正是為了克服數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視數(shù)學(xué)文化的這一弊病。?那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？通俗地說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排出或忘掉后剩下的東西。?“現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)

2、用到一些數(shù)學(xué)的思維去解決問題。這種解決問題的方法就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn)?！蔽④浌菊衅竼T工的一道考題?！耙粋€(gè)屋里有50個(gè)人，每人帶一條狗，其中部分是病狗。主人只能通過對其它狗的觀察得知自己的狗是否是病狗，并在發(fā)現(xiàn)當(dāng)天用槍打死自己的狗，第一天沒有聽到槍聲，第二天沒有聽到槍聲……直至第十天聽到一片槍聲，問屋里有多少病狗?！笨墒沁@道看似腦筋急轉(zhuǎn)彎的題目其實(shí)是一道巧妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。正確的解答需要結(jié)合運(yùn)用反證法和數(shù)學(xué)歸納法，答案的揭曉使每個(gè)人都能感覺到數(shù)學(xué)的奧妙。?下面十個(gè)具體形象的例子從不同的角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)的魅力。???例一：芝諾悖論與無限——從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)?很多人都聽過芝諾悖論

3、中的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的問題，顧沛在分析這個(gè)問題時(shí)，指出這一悖論的癥結(jié)在于混淆了有限與無限的問題。芝諾認(rèn)為阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，首先要到達(dá)烏龜原先的位置A，而這時(shí)烏龜已經(jīng)到了位置B，阿基里斯繼續(xù)追趕則要先到達(dá)B，這時(shí)烏龜又到達(dá)了位置C，以此類推，阿基里斯似乎永遠(yuǎn)也追不上烏龜了，可是芝諾卻忽視了一個(gè)問題，無限長度或時(shí)間的和，可能是有限的。?另一個(gè)與無限有關(guān)的是“有無限個(gè)房間的旅館”問題，一個(gè)有無限個(gè)房間的旅館客滿后來了一個(gè)客人，應(yīng)該怎樣安排他？答案很簡單，讓原先住在1號房的客人搬進(jìn)2號房，原先住在2號房的客人住進(jìn)3號房，以此類推，讓原先住在K號房的客人住進(jìn)K+1號房，這樣就空

4、出了1號房給新來的客人。同理，來了一個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客，一萬個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客甚至無窮個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客也應(yīng)對自如了。在場的許多同學(xué)都有所領(lǐng)悟，給出了精彩的解答。?奇妙的數(shù)學(xué)，從有限到無限，不可能的也成了可能。???例二：海岸線的長度問題——分形與混沌?首先是分形問題。B．B．Mandelbrot發(fā)現(xiàn)英國的海岸線永遠(yuǎn)也無法測量，為什么呢？柯赫曲線的幾何現(xiàn)象說明了這個(gè)問題。（組圖略）?這樣的一組圖具有自相似性，在測量海岸線時(shí)，如果尺子的長度精確度不同，那么海岸線的形狀就可以無限分形，當(dāng)然無法準(zhǔn)確測量了。正是這樣一個(gè)問題，發(fā)展成了數(shù)學(xué)界一個(gè)非常重要的分支。?混沌問題。這個(gè)問題是E．N．Lorenz

5、在做天氣預(yù)報(bào)中發(fā)現(xiàn)的。大家都知道的“蝴蝶效應(yīng)”，也是一種混沌現(xiàn)象，由此可見，數(shù)學(xué)問題無處不在。例三：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)——數(shù)學(xué)的思想大解放??牛頓為了計(jì)算瞬時(shí)速度，創(chuàng)立了微積分學(xué)，可是貝克萊卻對牛頓發(fā)難：無窮小作為一個(gè)量，究竟是否為0？?在算式??s/t=gt?+1/2g(t)中，貝克萊質(zhì)疑道：如果無窮小量等于0，則等號左端無意義，若不等于0，則右邊的后一項(xiàng)不能隨意取掉，因此，反駁貝克萊成了一個(gè)棘手的問題。?直到數(shù)百年后，柯西的極限理論的出現(xiàn)，“ξ-σ”語言的出現(xiàn)。才消除了這一危機(jī)。?由此可見，在數(shù)學(xué)中，知識的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的。???例四：周髀算經(jīng)與勾股定理——中國和世界數(shù)學(xué)

6、的驕傲??很多人都知道北京2008年舉行奧運(yùn)會(huì)，但2002年在北京舉行的“國際數(shù)學(xué)家大會(huì)”，也是我國許多世界頂尖數(shù)學(xué)大師和政府爭取來的榮譽(yù)。這次大會(huì)的會(huì)徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。??美國宇航局的一次尋找外星人的行動(dòng)中，也帶去了一個(gè)證明勾股圖形的黃金制品，可見勾股定理的證明是世界的驕傲。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達(dá)380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。???例五：蒲豐投針問題——什么是創(chuàng)新?1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放。事后，蒲豐對針落地的位

7、置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，共投針2212枚，與直線相交的704枚，兩者相處，正好等于圓周率。求圓周率是一個(gè)幾何問題，而蒲豐卻用概率的方法解決了，完全不相同的兩個(gè)領(lǐng)域被神奇地聯(lián)系起來，這就是某種意義上的創(chuàng)新。例六：變換的方法——化繁為簡?上山問題一人早6:00從山腳A上山,晚18：00到山頂B;第二天,早6:00從B下山,晚18：00到A。問是否有一個(gè)時(shí)刻，這二天都在這一時(shí)刻到達(dá)同一點(diǎn)？數(shù)學(xué)表述：設(shè),表示上山運(yùn)動(dòng)函數(shù);,表示下山運(yùn)動(dòng)函數(shù),而S表示A