對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

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1、對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用陳先紅（湖北省仙桃市沔城高級(jí)中學(xué)）摘要：積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)。靈活運(yùn)用積分學(xué)中的對(duì)稱性，可以使一些復(fù)雜的積分運(yùn)算簡(jiǎn)化。關(guān)鍵詞:對(duì)稱性；奇函數(shù)；偶函數(shù)；積分Abstract:ThecalculationofintegralisveryimportantintheteachingofAdvancedmathematics.ThecalculationofmanyintegralsinCalculuscanbesimplifiedifthesymmetriesareconsideredsufficiently.Keywords:symmetry;o

2、ddfunction;evenfunction；integral在高等數(shù)學(xué)中，運(yùn)用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化積分運(yùn)算是一種常用的方法。在積分計(jì)算中,利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及函數(shù)對(duì)自變量的奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化積分計(jì)算,經(jīng)?？梢赃_(dá)到事半功倍的效果.1對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用當(dāng)函數(shù)在上連續(xù)，則（1）當(dāng)為偶函數(shù)，有；（2）當(dāng)為奇函數(shù)，有.例1計(jì)算解：因?yàn)榉e分區(qū)間對(duì)稱于原點(diǎn)，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以原式=2對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用利用被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性，常常使二重積分的計(jì)算簡(jiǎn)化許多，避免出現(xiàn)繁瑣的計(jì)算。但在使用該方法時(shí)，要同時(shí)兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對(duì)稱性兩方面。有下列常用結(jié)論：

3、（1）如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則有（a）當(dāng)時(shí)，（a）當(dāng)時(shí)，其中（1）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則有（b）當(dāng)時(shí)，（c）當(dāng)時(shí)，其中（2）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，且關(guān)于變量x和y都為偶函數(shù)，則有其中是D在第一象限的部分。（3）如果積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且被積函數(shù)是關(guān)于x或y的奇函數(shù)，則（4）如果積分區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱，則例14證明不等式，其中證明：因?yàn)镈關(guān)于對(duì)稱，所以故又由于而D的面積為1，由二重積分的性質(zhì)，得3對(duì)稱性在三重積分中的應(yīng)用使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性。一般地，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于XOY

4、平面對(duì)稱，且被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，則三重積分為零；若被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，則三重積分為在XOY平面上方的半個(gè)閉區(qū)域的三重積分的兩倍。類似可得到其他兩種情形。例6利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算其中積分區(qū)域.解：積分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，所以4對(duì)稱性在第一類曲線積分中的應(yīng)用對(duì)稱性在第一類曲線積分中應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意：1.積分弧段關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性；2.被積函數(shù)關(guān)于另一變量的奇偶性。若曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，則有當(dāng)是y的奇函數(shù)，即時(shí)，.當(dāng)是y的偶函數(shù)，即時(shí)，，其中是L位于上半平面的部分.若曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱,也有類似的結(jié)論。需要注意的是，對(duì)于第二類曲線積分,不能使用上述對(duì)稱

5、性簡(jiǎn)化計(jì)算。一般應(yīng)先將它們化為定積分后,才能考慮是否可用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。例4．設(shè)是以為頂點(diǎn)的正方形邊界，求曲線積分.解：因?yàn)榉e分弧段關(guān)于X軸和Y軸都對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于Y和X都是偶函數(shù)。利用對(duì)稱性，可以轉(zhuǎn)化為第一象限曲線積分的4倍。5對(duì)稱性在第一類曲面積分中的應(yīng)用對(duì)稱性在第一類曲面積分中應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意：1.積分曲面關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；2.被積函數(shù)關(guān)于另一變量的奇偶性。若曲面關(guān)于XOY坐標(biāo)面對(duì)稱，則有當(dāng)是關(guān)于z的奇函數(shù)時(shí)，.當(dāng)是關(guān)于z的偶函數(shù)時(shí)，，其中是在XOY坐標(biāo)面上方的部分.若曲面關(guān)于YOZ和ZOX坐標(biāo)面對(duì)稱,也有類似的結(jié)論。需要注意的是，對(duì)于第二類曲面積分,不能使用上述對(duì)稱

6、性簡(jiǎn)化計(jì)算。一般應(yīng)先將它們化為重積分后,才能考慮是否可用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。例4計(jì)算，其中為拋物面.解：易見拋物面關(guān)于XOZ，YOZ坐標(biāo)面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于Y,X為偶函數(shù)。所以(為第一卦限部分曲面).原式其中原式綜上所述，在計(jì)算積分問(wèn)題時(shí)，充分考慮被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用上述性質(zhì)，可以使計(jì)算量簡(jiǎn)化。參考文獻(xiàn)[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.[2]張翠華.對(duì)稱性在曲線積分和曲面積分中的應(yīng)用[J].西南科技大學(xué)《高教研究》，2004（1）：21-22.[3]王湘平.對(duì)稱原理在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].隴東學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（2）：2

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