有限元算例二維傳熱問題

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1、一個最基本的有限元計算程序胡金山,朱青云,余治國（西安空軍工程大學(xué)工程學(xué)院,西安710038）我們在學(xué)習(xí)有限元課程時做的另一個作業(yè)，用C/C++編程求解了一個簡單的有限元問題，可以作為有限元學(xué)習(xí)的編程實例，以更好地理解有限元理論，并為進(jìn)一步使用大型有限元軟件打下基礎(chǔ)。本文所涉及的有限元基本理論請參考章本照先生編著的<<流體力學(xué)中的有限元方法>>,PP.156-165。源代碼下載：FemSrc.zip一．二維傳熱問題二．解題過程1、對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將待分析的結(jié)構(gòu)物從幾何上用線或面劃分為有限個單元，按結(jié)構(gòu)物的不同和分析要求，選取不同形式的單元，在單元的邊界上設(shè)置節(jié)點，并書寫

2、編號。計算節(jié)點坐標(biāo)2、單元分析：設(shè)法導(dǎo)出單元的結(jié)點位移和結(jié)點力之間的關(guān)系，建立單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的計算：對于方程采用Galerkin弱解表達(dá)式（*）這里采用三節(jié)點的三角形單元，單元的基函數(shù)共有三個，選用插值多項式分別代入單元三個節(jié)點的坐標(biāo)可解得其中e單元中的近似函數(shù)為（**）將式（*）中的積分區(qū)域取為e單元的區(qū)域，并將單元中的近似函數(shù)表達(dá)式（**）代入，并注意到的任意性，可得記（***）（****）將單元基函數(shù)的具體表達(dá)式（*）代入（***）式中，可得通過等參變換（具體見文獻(xiàn)1第201頁），可得這里指p為常數(shù)的情況，A為三角形單元的面積。這里g均為0，所以此項不用

3、計算。3、整體分析（以求結(jié)點力為例）整體分析就是將各個單元組成結(jié)構(gòu)整體進(jìn)行分析。整體分析的目的在于導(dǎo)出整個結(jié)構(gòu)結(jié)點位移與結(jié)點力之間的關(guān)系，建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程。分析步驟：首先按著一定的集成規(guī)則，將各單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，并將單元等效結(jié)點荷載集合成整體等效結(jié)點荷載列陣；然后引入結(jié)構(gòu)的位移邊界條件，求解整體平衡方程組，得出基本未知量――結(jié)點位移列陣。4、用選定的算法語言編寫出程序（C/C++），調(diào)試程序調(diào)用高斯消元法解方程的出結(jié)果。附件程序Fem1.cpp計算了積分值，F(xiàn)em2.cpp則采用了面積坐標(biāo)下的插值函數(shù)，積分值取為三角形面積的三分之一。兩者結(jié)果相同，

4、但是后者更為通用，可以把程序用于其他形狀的二維區(qū)域的有限元計算，F(xiàn)em3.cpp計算了題2。三．單元網(wǎng)格劃分四邊形單元網(wǎng)格劃分單元網(wǎng)格劃分示意如圖1圖1計算結(jié)果結(jié)果數(shù)據(jù)可視化如圖2，3。它們是題1分別用Fem1.cpp程序和Fem2.cpp程序計算結(jié)果的Matlab數(shù)據(jù)可視化圖，它們表現(xiàn)的數(shù)據(jù)基本一致，觀察視點不同。圖4是題2的解。圖2圖3圖4利用此程序的基本框架，我們還成功地解算了三角形、橢圓形區(qū)域的有限元問題。最后感謝我們的老師――在數(shù)學(xué)和計算上具有深厚功力的王旭教授，感謝他對我們的悉心指導(dǎo)和熱情鼓勵！參考文獻(xiàn)：1.章本照.流體力學(xué)中的有限元方法[M].機(jī)械工業(yè)出版社

5、,1986