空間向量法解決立體幾何問題

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1、【空間向量與立體幾何姓名知識(shí)點(diǎn)歸納垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系1平行轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行2垂直轉(zhuǎn)化線線垂直線面垂直面面垂直知識(shí)梳理1．空間直角坐標(biāo)系：　在空間選定一點(diǎn)引三條互相垂直且有相同長(zhǎng)度單位的數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；　作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），；　在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間直角坐

2、標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．３．空間兩點(diǎn)間距離若，，則特別地，Ａ到原點(diǎn)的距離（2）夾角公式：．空間向量法解決立體幾何問題一、引入兩個(gè)重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量：把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都

3、稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量yx在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?如圖2,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z

4、).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量練習(xí)：在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1,D1中，E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，試在棱BB上找一點(diǎn)M,使得D1M平面EFB1二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,

5、即a·b=0,則a⊥babab(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且L不在α.內(nèi)①若a∥n,即a=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naLnLa例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1練習(xí)：1：兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交與AB,.M,N分別為BD,AE上的點(diǎn)，且AN=DM,（1）求證：MN//平面EBC;(2)求MN長(zhǎng)度的最小值2：在正方體ABCD-A1B1C1,D1中，O為AC和BD的交點(diǎn)，G為CC1的

6、中點(diǎn)，求證：A1O平面GBD3.在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證平面．(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:面AED⊥面A1FD練習(xí)：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：平面A1BC1//平面ABD12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角:利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直

7、線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.練習(xí)：1：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M為CC1的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，求直線PQ與直線AM所成的角2：棱長(zhǎng)均相等的四面體A—BCD中，E,F分別是棱AD,BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF,CE所成的角(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=或θ=