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《空間向量法解決立體幾何問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、【空間向量與立體幾何姓名知識點歸納垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系1平行轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行2垂直轉(zhuǎn)化線線垂直線面垂直面面垂直知識梳理1．空間直角坐標系： 在空間選定一點引三條互相垂直且有相同長度單位的數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面； 作空間直角坐標系時，一般使（或），； 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐
2、標系。規(guī)定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系．2．空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．３．空間兩點間距離若，，則特別地，Ａ到原點的距離（2）夾角公式：．空間向量法解決立體幾何問題一、引入兩個重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空
3、間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量：把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量yx在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?如圖2,設a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由
4、直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α求平面的法向量的坐標的步驟:第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量練習：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1,D1中，E,F分別為
5、棱AB,BC的中點，試在棱BB上找一點M,使得D1M平面EFB1二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且L不在α.內(nèi)①若a∥n,即a=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naLnLa例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(
6、I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1練習：1：兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交與AB,.M,N分別為BD,AE上的點，且AN=DM,（1）求證：MN//平面EBC;(2)求MN長度的最小值2：在正方體ABCD-A1B1C1,D1中，O為AC和BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O平面GBD3.在正方體中，分別是的中點，求證平面．(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β例4
7、正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:面AED⊥面A1FD練習：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：平面A1BC1//平面ABD12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角:利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.練習：1
8、：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M為CC1的中點，Q為BC的中點，點P在A1B1上，求直線PQ與直線AM所成的角2：棱長均相等的四面體A—BCD中，E,F分別是棱AD,BC的中點，連結(jié)AF,CE所成的角(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=或θ=
