附錄i 截面的幾何性質(zhì)

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1、附錄I截面的幾何性質(zhì)§I-1靜矩與形心位置§I-2極慣性矩、慣性矩、慣性積§I-3慣性矩和慣性積的平行移軸定理§I-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式1附錄I截面的幾何性質(zhì)§I-1靜矩與形心位置一、靜矩：(與力矩類似)是面積與它到軸的距離之積。xdAyyx靜矩是對一定軸而言的，同一截面對不同軸的靜矩值不同。靜矩值可正、負或零。單位為m3。靜矩沒有物理意義，純平面幾何性質(zhì)。2附錄I截面的幾何性質(zhì)dAxyyx對于組合截面：二、形心：(等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合。)等厚均質(zhì)質(zhì)心：等于形心坐標3附錄I截面的幾何性質(zhì)xyohydyb(y)例1計算圖示三角形截面對于與

2、其底邊重合的x軸的靜矩。解：用積分法解之。面積元素dA如圖，則由相似三角形關(guān)系有三角形對x軸的靜矩為：4附錄I截面的幾何性質(zhì)例2試確定下圖的形心。解：組合圖形，用面積法求解。方法一：正面積法圖形分割及坐標如圖(a)801201010xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)5附錄I截面的幾何性質(zhì)方法二：用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖(b)120圖(b)80C2負面積70110xy0C1C1（0,55）C2（5,60）6附錄I截面的幾何性質(zhì)§I-2慣性矩、慣性積、極慣性矩一、慣性矩：(與轉(zhuǎn)動慣量類似）是面積與它到軸的距離的平方之積。dAxyy

3、xr二、極慣性矩：是面積對極點的二次矩。截面對任意一對互相垂直軸的慣性矩之和，等于截面對該兩軸交點的極慣性矩。7附錄I截面的幾何性質(zhì)dAxyyxr三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。如果x或y是對稱軸，則Ixy=0說明：1、Ix、Iy、Ixy都是對軸而言的，同一截面對不同軸的數(shù)值不同。2、Iρ是對點（極點）而言，對不同的點數(shù)值不同。3、Ix、Iy、Ixy和Iρ的單位為m4。Ix、Iy和Iρ恒為正值，Ixy為代數(shù)值。4、Ix、Iy、Ixy和Iρ沒有物理意義，純平面幾何性質(zhì)。8附錄I截面的幾何性質(zhì)四、應(yīng)用例1計算圖示矩形截面對于其對稱軸x和y的慣性矩。

4、xcbhyxdx解：取平行x軸的狹長條作為面積元素，則ydy矩形截面對x軸的慣性矩為：矩形截面對y軸的慣性矩為：9附錄I截面的幾何性質(zhì)xydc例2計算圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。2xydy解：以圓心為原點，選坐標軸如圖，取平行于軸的狹長條為面積元素，則截面對x軸慣性矩為：同理，對y軸慣性矩為：10附錄I截面的幾何性質(zhì)例3計算圓截面對于其圓心的極慣性矩。dρdρ解：取圖示環(huán)形面積為微面積，即圓截面對于圓心極慣性矩與對于過圓心的軸x和y的關(guān)系：11附錄I截面的幾何性質(zhì)dAxyyxr§6-3慣性矩和慣性積的平行移軸定理一、平行移軸定理：（與轉(zhuǎn)

5、動慣量的平行移軸定理類似）以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖abCxCyC12附錄I截面的幾何性質(zhì)注意:C點必須為形心同理dAxyyxrabCxCyC13附錄I截面的幾何性質(zhì)例1求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO圓14附錄I截面的幾何性質(zhì)例2求圖示截面對于對稱軸x的慣性矩。xd=80a=100100解：將截面分成一個矩形和兩個半圓形。設(shè)矩形對于x軸的慣性矩為Ix1，每個半圓形對于x軸的慣性矩為Ix2，截面對于x軸的慣性

6、矩為：矩形對于x軸的慣性矩為：半圓形對于x軸的慣性矩可利用平移軸公式求得。半圓對底邊的慣性矩為圓形對其直徑軸的慣性矩之半，即15附錄I截面的幾何性質(zhì)而半圓的形心距底邊距離為，面積為如圖所示。則利用平移軸公式有：截面對于軸的慣性矩為：16附錄I截面的幾何性質(zhì)I-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxax1y1x1y1將和代入上式，整理得17附錄I截面的幾何性質(zhì)用同樣方法可得截面對y1軸的慣性矩和對x1、y1軸的慣性積α的方向：以x軸為基線，逆時針為正，順時針為負。且18附錄I截面的幾何性質(zhì)1.主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉(zhuǎn)到?=?0時；恰好有與?0對應(yīng)

7、的旋轉(zhuǎn)軸x0y0稱為主慣性軸。平面圖形對主軸之慣性矩主慣性矩。將和及代入轉(zhuǎn)軸公式，整理得：19附錄I截面的幾何性質(zhì)2.形心主軸和形心主慣性矩：主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩形心主慣性矩：20附錄I截面的幾何性質(zhì)①建立坐標系②計算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主軸方向—?0⑥求形心主慣性矩組合截面慣性矩的計算21附錄I截面的幾何性質(zhì)例1在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標系如圖。②求形心位置。③建立形心坐標系；求：

8、IyC，IxC，IxCydb2dxyOxCyCx122附錄I截面的幾何性質(zhì)db2dxyOxCyCx123附錄I截面的幾何性