第三章_多維隨機(jī)變量及其概率分布

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1、第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布考試內(nèi)容多維隨機(jī)變量及其分布　二線離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布　二維連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度　隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性　常用二維隨機(jī)變量的分布　兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的概率分布考試要求1．理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)。理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布；理解二維隨機(jī)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度．會(huì)求與二維連續(xù)型隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率．2．理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念

2、，掌握隨機(jī)變量獨(dú)立的條件．3．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布N（μ1，μ2，σ21，σ22，ρ）的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義．4．會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布．一、主要內(nèi)容講解1、聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布28函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：①單調(diào)性：.②有界性：對(duì).

3、③右連續(xù)性：.④非負(fù)性：對(duì)有例3．1：如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A）（B）（C）（D）[C]分析：C不滿足非負(fù)性，〔F(1,1)-F(0,1)-F(1,0)+F(0,0)=-1〕2、離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布設(shè)離散型隨機(jī)變量和的一切可能的集合為，則稱，…為二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布列，或以列聯(lián)表的形式表示：28…Y………X……………………………………基本性質(zhì)①非負(fù)性：；②正則性：.例3.2：設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一隨機(jī)變量Y在1～X

4、中等可能地取一整數(shù)值，試求（X，Y）的分布律；求P{Y=2}解：X、Y的可能取值為1,2,3,4.且YX12341000200304P{Y=2}=例3.3設(shè)隨機(jī)變量，且滿足則（A）28(A)0;(B)1/4;(C)1/4;(D)1【評(píng)注】在理解二維隨機(jī)變量和二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上，確定（X，Y）的所以可能取值?？梢杂啥x與古典概率方法求出，但有時(shí)要借助與事件的關(guān)系與運(yùn)算的性質(zhì)，如和、差、積、獨(dú)立性與全概率公式。3、分布列與分布函數(shù)的互化例3.4（1）設(shè)的聯(lián)合分布列為YX12011102求.分析：

5、注意區(qū)間的寫法：左閉右開.28（2）設(shè)求的聯(lián)合分布列。4、連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布定義：如果存在二元非負(fù)函數(shù)，使得二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)可表示為：，則稱（X,Y）為二維連續(xù)隨機(jī)變量，為其聯(lián)合密度函數(shù)?；拘再|(zhì)①非負(fù)性：0；②正則性：.③（概率計(jì)算時(shí)常用）④在偏導(dǎo)存在的點(diǎn)（或在連續(xù)點(diǎn)）處有：二維隨機(jī)變量的本質(zhì)：例3.5設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為，試求：①P(X<1，Y>1)；②P(X>Y).解：P(X<1，Y>1)＝；P(X>Y)＝（積分區(qū)域如下圖所示）。28OD21O1D15、離散型與連續(xù)型的關(guān)

6、系6、密度函數(shù)與分布函數(shù)的互化：在存在點(diǎn)處，；其他點(diǎn)處任意取值.：[特別要注意積分區(qū)域的劃分].例3.6已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為，求隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)解：(1)對(duì)于=0(2)對(duì)于=1(3)對(duì)于(4)對(duì)于(5)對(duì)于所以28例3.7（1）設(shè)，求〔〕（2）求在上服從均勻分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)，其中為所圍成的三角形區(qū)域。解：所以，10練習(xí)已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為28，求：（1）；（2）7、邊緣分布組成二維隨機(jī)變量（X，Y）的隨機(jī)變量X，Y各自的分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量（X，Y

7、）的隨機(jī)變量關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。離散型：X的邊緣分布為：；注：〔全概率公式〕Y的邊緣分布為：。連續(xù)型：X的邊緣分布密度為：Y的邊緣分布密度為：8、條件分布離散型：在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型：在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為28例3.8設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列為XY12312301/61/121/51/902/151/41/18求：（1）X和Y的邊緣分布列；（2）Y=1下X的條

8、件分布列例3.9：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中求X的邊緣密度和X的邊緣密度解：y=-x+1y=-x-1x+y=x-1y=x+1例3.10設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布，每個(gè)顧客購(gòu)買某種商品的概率為，并且每個(gè)顧客是否購(gòu)買某種商品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種商品的人數(shù)Y的分布列。解：X的分布為，由題意知，在的條件下，Y的條件分布的是二項(xiàng)分布，即28