多維隨機(jī)變量及其概率分布

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1、本章要求多維隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布本章要求:1.理解二維離散型隨機(jī)變量的分布律及其性質(zhì);2.理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其性質(zhì);3.理解邊緣分布律、邊緣概率密度函數(shù)的概念，掌握求邊緣分布律以及邊緣概率密度函數(shù)的方法;4.會(huì)判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性;5.了解兩個(gè)隨機(jī)變量的和的分布的求法;本章重點(diǎn):聯(lián)合分布律,概率密度函數(shù),邊緣分布律,邊緣概率密度函數(shù),隨機(jī)變量的獨(dú)立性.從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我

2、們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.3.1多維隨機(jī)變量的概念3.1.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的.飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的等等.一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向量叫做維隨機(jī)向量或維隨機(jī)變量.以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱(chēng)

3、為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者稱(chēng)為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱(chēng)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同稱(chēng)之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,

4、3.1.2二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.例把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為例把一枚均勻硬幣拋

5、擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=

6、1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱(chēng)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)稱(chēng)為二維（X,Y)的概率密度,隨機(jī)變量3.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度具有性質(zhì)（X,Y）的概率密度的性質(zhì):在f(x,y)

7、的連續(xù)點(diǎn),例設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)(2)求概率.積分區(qū)域區(qū)域解(1)當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),(2)例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度是(1)確定常數(shù)(2)求概率.解(1)故(2).對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為事實(shí)上,連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為例設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.(2)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),暫時(shí)固定注意取值范圍綜上,當(dāng)時(shí),例設(shè)

8、(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.暫時(shí)固定綜上,注意取值范圍在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密