多維隨機變量與概率分布

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1、第三章多維隨機變量及其概率分布【內(nèi)容提要】一、二維隨機變量及其分布函數(shù)【定義】設(shè)是定義于隨機試驗的樣本空間上的兩個隨機變量，則稱為二維隨機變量，稱為其聯(lián)合分布函數(shù)，而稱:及分別為的邊緣分布函數(shù)。二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)具有如下性質(zhì):⑴．非負性:，有；⑵．規(guī)范性:，有；⑶．單調(diào)性:當(dāng)固定不變時，是的單增函數(shù)；⑷．右連續(xù)性:，有；⑸．相容性:，有；⑹．特殊概率:若，則。二、二維離散型隨機變量1．二維離散型隨機變量及其概率分布律若二維隨機變量的一切可能取值為離散值，其中，且取到這些值的概率滿足，則稱

2、為二維離散型隨機變量，而稱為其聯(lián)合概率分布律，記為:。⑴.的邊緣概率分布律:；⑵.的條件概率分布律:；⑶.的相互獨立。二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及其邊緣分布律也可用下表來表示:設(shè)為平面區(qū)域，則二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其取值落在內(nèi)的概率為:，。2．常用二維離散型分布⑴．三項式分布:設(shè)為自然數(shù)，為常數(shù)，則三項式分布的聯(lián)合分布律為：，其中，而其邊緣分布律、條件分布律為：，，，其中，，其中。⑵．二維超幾何分布:設(shè)為自然數(shù)，則二維超幾何分布的聯(lián)合分布律為：，其中；而其邊緣分布律、條件分布律為

3、：，，，。⑶．二維分布:設(shè)為常數(shù)，則二維分布的聯(lián)合分布律為:,而其邊緣分布律、條件分布律為：，，，其中，。三、二維連續(xù)型隨機變量1．二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)若二維隨機變量的一切可能取值充滿了某一平面區(qū)域，且存在一個函數(shù)，使其聯(lián)合分布函數(shù)可表為，且，則稱為二維連續(xù)型隨機變量，而稱為其聯(lián)合密度函數(shù)，記為。設(shè)為平面區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)滿足：，而的取值落在內(nèi)的概率為。2．常用二維連續(xù)型分布⑴．均勻:，其中平面區(qū)域的面積；⑵．二維指數(shù)分布:二維指數(shù)分布的聯(lián)合分布

4、為:，，其中為常數(shù)，而其邊緣分布及條件分布為:，，，。⑶．二維分布:其聯(lián)合密度、邊緣密度及條件密度分別為(其中均為常數(shù)),，，，。⑷．二維正態(tài)分布:二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度為:，其中，而其邊緣分布及條件分布為:，即，，即，，即。四、二維隨機變量函數(shù)的分布設(shè)為二維隨機變量，而為連續(xù)的確定型函數(shù)。⑴．若為離散型隨機變量，且，則的分布律為:；⑵．若為連續(xù)型隨機變量，且，則的概率密度函數(shù)為:；⑶．若連續(xù)型隨機變量獨立，且具有相同的分布函數(shù)為，將按其取值由小到大的順序重新排為，稱為的順序統(tǒng)計量，則第個順序統(tǒng)

5、計量的分布函數(shù)為(其中為的密度，):，特別：。五、維隨機變量及其分布【定義】設(shè)是定義于隨機試驗的樣本空間上的個隨機變量，則稱為維隨機變量，而稱為其聯(lián)合概率分布函數(shù)；維隨機變量也可分離散型與連續(xù)型，也有邊緣分布、條件分布等概念。常用維隨機變量的分布有:1．維多項式分布:設(shè)為自然數(shù)，為常數(shù)，則維多項式分布的聯(lián)合分布律為(其中為整數(shù))：，其邊緣分布律、條件分布律仍為多項式分布。2．維超幾何分布:設(shè)為自然數(shù)，則維超幾何分布的聯(lián)合分布律為(其中為整數(shù))：，其邊緣分布律、條件分布律仍為超幾何分布。3．維均勻

6、分布:設(shè)為維空間區(qū)域，且其體積，則內(nèi)維均勻分布的聯(lián)合密度為(其中為整數(shù))：。4．維正態(tài)分布:設(shè)為維常向量，為正定矩陣，為的行列式，維正態(tài)隨機變量在處的聯(lián)合密度為：，正態(tài)隨機變量的邊緣分布、條件分布及其線性變換仍服從正態(tài)分布，且相互獨立為對角陣?！镜谌伦鳂I(yè)】1、現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件為正品，4件為次品，從中隨機抽取兩次產(chǎn)品，每次取一件，令，在放回抽樣與不放回抽樣下分別求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解:由題意知的聯(lián)合分布律及邊緣分布律分別為:放回抽樣場合不放回抽樣場合010100112、現(xiàn)有10件

7、產(chǎn)品，其中5件為一級品，2件為二級品，其余為廢品，從中不放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，用分別表示所取產(chǎn)品中的一、二級產(chǎn)品的數(shù)目，求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解:由題意知的聯(lián)合分布律，故其聯(lián)合分布律及邊緣分布律分別如下表所示:3、已知的邊緣分布律如下，且，求其聯(lián)合分布律及。解:由題意知的聯(lián)合分布律如下表所示:且。4、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求常數(shù)、的邊緣密度及概率。解:由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)有:，故,且，，，，。5、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求的邊緣密度及概率。解:由題設(shè)知:，，。6、設(shè)的聯(lián)合密度為，求其邊緣密度及

8、概率。解:由題設(shè)知:，，。7、兩人約定于某日的到在指定地點會面，約定先到者最多等候分鐘，假設(shè)兩人行動獨立且在到內(nèi)任一時刻到達指定地點的可能性相同，求他們能會面的概率。解:用分別表示兩人到達指定地點的時間(從算起的分鐘數(shù))，則由題設(shè)知在平面區(qū)域上均勻分布，故其聯(lián)合密度為，從而他們能會面的概率為。8、設(shè)獨立，且其邊緣分布為，求的聯(lián)合分布及、、。解:由題設(shè)知的聯(lián)合分布，且，。9、設(shè)相互獨立，且其邊緣分布為，求行列式的分布。解:令，則由題設(shè)知有3個可能的取值，且，，。10、設(shè)在區(qū)域上均勻分布，求隨機變量