一維勢壘問題總結(jié)

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1、一維勢壘中的透射系數(shù)利用傳遞矩陣方法研究了粒子在一維勢壘中運(yùn)動(dòng)時(shí)的粒子的透射系數(shù),主要研究的是在一個(gè)方勢壘兩個(gè)方勢壘中透射系數(shù)，對以上的透射系數(shù)的總結(jié)，推出了對于任意勢壘中透射系數(shù)，并討論了透射系數(shù)、反射系數(shù)與勢壘寬度的關(guān)系.一維方勢壘勢壘模型在方勢壘中，遇到的問題和值得注意的地方。在求方勢壘波函數(shù)中，首先要知道這是一個(gè)什么樣問題，滿足什么樣的方程，方程可以寫成什么樣的形式，在求解方程中，波函數(shù)的形式應(yīng)該怎樣需要怎樣的分段，分段的過程中，特別要強(qiáng)調(diào)的邊界條件問題。并且驗(yàn)證了概率流密度。在量子力學(xué)中，粒子在勢壘附近發(fā)生的現(xiàn)象是不一樣的，能量E大于勢壘高度

2、的粒子在勢壘中有一部分發(fā)生反射，而能量小于的粒子也會(huì)有部分穿過勢壘，這在經(jīng)典力學(xué)中是不會(huì)發(fā)生的。下面討論的是一維散射（即在非束縛態(tài)下問題，在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)不趨于零）。重點(diǎn)討論的是粒子通過勢壘的透射和反射，重點(diǎn)在于求出波函數(shù)，這就必須求解薛定諤方程，由于是與時(shí)間無關(guān)的，此處是定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程通式：在量子力學(xué)里,必須知道波函數(shù),因此必須要解薛定諤方程一維散射問題是一個(gè)非束縛態(tài)問題(與時(shí)間無關(guān),而是正的).因此令由此得到按照勢能的形式,方程(2)一般需要分成幾個(gè)部分求解.將上式改寫成如下形式先討論的情形粒子滿足薛定諤方程分解為三個(gè)區(qū)域：（1）特

3、征方程的兩個(gè)根方程的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對共軛復(fù)根注：的通解:特征方程,當(dāng)時(shí)，通解，當(dāng)時(shí)，通解方程（1）的解可以表示為：（2）定態(tài)波函數(shù)再分別乘上一個(gè)含時(shí)間的因子，可以看到式子（2）的三式，第一項(xiàng)是左向右傳播的平面波，第二項(xiàng)是由右向左傳播的平面波，即入射波和反射波。在區(qū)域內(nèi)，只有入射波，無反射波，故。利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的邊界條件，可得如下:這里的；由得（3）由（4）可以寫成：（5）（6）由式（5）和式（6）得：（7）化解得：注：概率流密度的定義；此處入射波，透射波，反射波，分別代入概率流密度;化簡得：，同理，；注：透射概率流密

4、度與入射概率流密度之比稱為透射系數(shù)，即區(qū)域粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直與x方向的單位面積的數(shù)目，與入射粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直與x方向的單位面積的數(shù)目之比。從得出反射系數(shù)。化簡的(8)同理透射系數(shù)T，（9）由上式R和T之和等于1，證實(shí)了入射粒子一部分透射到x>a區(qū)域，另一部分被勢壘反射。（以后要重點(diǎn)關(guān)注共振點(diǎn)）這里常在文獻(xiàn)中涉及到是，當(dāng)反射為零，透射系數(shù)為1，產(chǎn)生的共振，此時(shí)只有透射波沒有反射波，這個(gè)理解為第一個(gè)界面反射的波和第二個(gè)界面反射的波相消干涉。即兩個(gè)反射波之間有相位差。（這里也可以研究概率密度驗(yàn)證以上的結(jié)論）討論的情形，解：其中；邊界條件：E

5、0,a=0.8nm,u0=3eVE>u0,a=0.8nm,u0=3eV無論是E>u0,還是Eu1，u2

6、時(shí)；解令，可求得：即有此通式注：上式作為通式很重要，一定要牢牢記住，可以為以后的計(jì)算省好多時(shí)間。這里通過化簡可以得到（注：這里一定要認(rèn)真化簡，化成統(tǒng)一的形式）透射系數(shù)n=2,a1=0.4,a2=0.4,u1=u2=3eV;n=1,a=0.8,u1=3eV;n=2,a1=0.8,a2=0.,u1=u2=3ev,這里先是一個(gè)方勢壘下透射系數(shù)，然后兩個(gè)方勢壘退化成一個(gè)方勢壘是否正確有a1=0.8,a2=0時(shí)，或a1=a2=0.4.u1=u2時(shí)退化成方勢壘。驗(yàn)證是正確的。在程序中我用的矩陣的形式，然后得出的是透射系數(shù)，但是我同時(shí)也把我自己化簡的結(jié)果，直接求出的

7、投射系數(shù)，然后帶入之后，確定是正確，這感到很欣慰。這足以表明傳遞矩陣的方法在一個(gè)方勢壘和兩個(gè)方勢壘是正確的。此外通過一個(gè)方勢壘和兩個(gè)方勢壘已經(jīng)能夠得出任意勢壘的傳遞矩陣下面進(jìn)行驗(yàn)證。高斯勢壘勢壘模型此模型滿足一維定態(tài)薛定諤方程：假設(shè)能量為E一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子從左邊沿x方向入射，第i個(gè)勢壘的勢能函數(shù)為常數(shù)，勢能表達(dá)式如下：其中是可調(diào)的參數(shù)，越大時(shí)，勢壘越平滑，也就越低，越大是，勢壘就越陡峭，就越大。先討論的情形，這時(shí)能量為E的粒子滿足定態(tài)薛定諤方程可依次寫成如下形式：當(dāng)x<0時(shí)，由于粒子穿過第一個(gè)勢壘，在這個(gè)區(qū)域就會(huì)有反射波和入射波。此時(shí)滿足方程：此方程

8、的解表示如下形式：同理在x>2a時(shí)，這個(gè)區(qū)域內(nèi)透射波遇不到其他任何勢壘不能發(fā)生發(fā)射只有向右傳播