維勢阱和勢壘問題

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1、薛定諤方程的簡單應用找出問題中勢能函數(shù)的具體形式，代入相應的薛定諤方程；根據(jù)波函數(shù)應滿足的自然條件定出邊界條件求出薛定諤方程的特解求出薛定諤方程的通解——即波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)應滿足的歸一化條件寫出波函數(shù)對量子力學處理的結果進行分析§16-3一維勢阱和勢壘問題1.一維無限深勢阱粒子在勢阱內受力為零，勢能為零。在阱內自由運動。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力,不能到阱外。一維無限深方勢阱是金屬中自由電子的簡化模型一維無限深方勢阱的數(shù)學表達形式：一維無限深方勢阱的圖形表達形式：∞0aU(x)∞x粒子只能在寬為a的兩個無限高勢壁間運

2、動，這種勢稱為一維無限深方勢阱。因為系統(tǒng)的勢能與時間無關，因此這是一個定態(tài)問題，可以用定態(tài)薛定諤方程進行求解?！☉B(tài)薛定諤方程列出各區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程勢阱內00，令定態(tài)薛定諤方程變?yōu)榇搜Χㄖ@方程的解為式中A和α是待定常數(shù)，由邊界條件和歸一化條件確定。從物理上考慮，粒子不可能透過阱壁，因而按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，要求在阱壁上和阱外波函數(shù)為0?？紤]波函數(shù)在阱壁上等于零的情況，即————邊界條件波函數(shù)改

3、寫為：討論一：n不等于零此時波函數(shù)沒有物理意義，故舍去。討論二：n不取負數(shù)此時波函數(shù)與n取正數(shù)時代表相同的概率分布，即無法給出新的波函數(shù)，故舍去。這說明：并非任何E值所對應的波函數(shù)都能滿足一維無限深方勢阱所要求的邊界條件，只有當能量取上式給出的那些分立的值En（體系的能量本征值）時，相應的波函數(shù)才是物理上有意義的，即本問題中體系的能量是量子化的，亦即體系的能譜是分立的。與能量本征值En相對應的本征波函數(shù)?n(x)為：利用歸一化條件取A為正實數(shù)波函數(shù)：討論：①粒子的能量粒子的最低能量狀態(tài)稱為基態(tài)，則一維無限深方勢阱的基態(tài)能量為：——

4、——零點能與零點能相對應的，應存在零點運動。這與經典粒子的運動是相矛盾的。零點能是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，因為“靜止的波”是沒有意義的。（1）一維無限深勢阱的粒子波函數(shù)②圖形一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度基態(tài)的波函數(shù)(n=1)無節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)(n=2)有一個節(jié)點，第k激發(fā)態(tài)(n=k+1)有k個節(jié)點。除端點外，（2）一維無限深勢阱的粒子位置概率密度分布時量子?經典a

5、2?n

6、n很大En0一維無限深勢阱例1:證明無限深方勢阱中，不同能級的粒子波函數(shù)具有正交性：即不同能級的波函數(shù)是互相正交的。解:波函數(shù)取其復共軛相乘并積

7、分，得屬于不同能級的波函數(shù)是正交的。把波函數(shù)的正交性和歸一性表示在一起，克羅內克符號二、勢壘穿透和隧道效應有限高的方形勢壘數(shù)學形式：圖形形式：考慮粒子的動能E小于勢壘高度U0的情況。（Ea的區(qū)域。這種勢能分布稱為一維勢壘。在量子力學中，情況又如果呢？為討論方便，我們把整個空間分成三個區(qū)域：OIIIIII在各個區(qū)域的波函數(shù)分別表示為?1、?2、?3。OIIIIII令：三個區(qū)間的薛定諤方程簡化為：方程的通解為：三式的右邊第一項表示沿x方向傳播的平面波，

8、第二項為沿x負方向傳播的平面波。?1右邊的第一項表示射向勢壘的入射波，第二項表示被“界面（x=0）”反射的反射波。?2右邊的第一項表示穿入勢壘的透射波，第二項表示被“界面（x=a）”反射的反射波。?3右邊的第一項表示穿出勢壘的透射波，?3的第二項為零，因為在x>a區(qū)域不可能存在反射波(B3=0)。定義反射系數(shù)：————粒子被勢壘反射的概率————被勢壘反射的粒子數(shù)/入射到勢壘上的粒子數(shù)定義透射系數(shù)：————粒子穿過勢壘的概率————穿過勢壘的粒子數(shù)/入射到勢壘上的粒子數(shù)————概率守恒反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的具體值，需要根據(jù)波函數(shù)

9、的歸一化條件，以及邊界條件（波函數(shù)及其導數(shù)在全空間連續(xù)）來確定。利用波函數(shù)“單值、有限、連續(xù)”的標準條件，可得：求出解的形式畫于圖中。IIIIII討論：（1）E>U0按照經典力學觀點,在E>U0情況下，粒子應暢通無阻地全部通過勢壘，而不會在勢壘壁上發(fā)生反射。而在微觀粒子的情形，卻會發(fā)生反射。IIIIII（2）Ea區(qū)域也存在波函數(shù)，所以粒子還可能穿過勢壘進入x>a區(qū)域。粒子在總能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應。經

10、典量子隧道效應當時，勢壘的寬度約50nm以上時，貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應在實際上已經沒有意義了。量子概念過渡到經典了。結果表明：勢壘高度U0越低、勢壘寬a度越小，則粒子穿過勢壘的概率就越大。如果a或μ為宏觀大小時，，粒子實際上將不能穿過