微 積 分 發(fā) 展 簡(jiǎn) 史

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1、微積分發(fā)展簡(jiǎn)史微積分發(fā)展簡(jiǎn)史一．微積分思想的萌芽微積分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希臘、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏用樸素的極限思想，即無(wú)窮小過(guò)程計(jì)算特別形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子。在中國(guó)，公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，是我國(guó)較早出現(xiàn)的極限思想。但把極限思想運(yùn)用于實(shí)踐，即利用極限思想解決實(shí)際問(wèn)題的典范卻是魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽。他的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)

2、，則正多邊形面積愈來(lái)愈接近圓面積。用他的話說(shuō)，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣。”按照這種思想，他從圓的內(nèi)接正六邊形面積一直算到內(nèi)接正192邊形面積，得到圓周率的近似值3.14。大約兩個(gè)世紀(jì)之后，南北朝時(shí)期的著名科學(xué)家祖沖之（公元429-500年）祖恒父子推進(jìn)和發(fā)展了劉徽的數(shù)學(xué)思想，首先算出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間，這是我國(guó)古代最偉大的成就之一。歐洲古希臘時(shí)期也有極限思想，并用極限方法解決了許多實(shí)際問(wèn)題。阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C

3、212)借助于“窮竭法”解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問(wèn)題。這種方法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形。與積分學(xué)相比，微分學(xué)研究的例子相對(duì)少多了。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問(wèn)題。阿基米德、阿波羅尼奧斯(Apollonius,c.BC262-c.BC190)等均曾作過(guò)嘗試，但他們都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn)。古代與中世紀(jì)的中國(guó)學(xué)者在天文歷法研究中也曾涉及到天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問(wèn)題，但多以慣用的數(shù)值手段（即有限差分計(jì)算）來(lái)處理，從而回避了連續(xù)變化率。

4、二．十七世紀(jì)微積分的醞釀微積分思想真正的迅速發(fā)展與成熟是在16世紀(jì)以后。1400年至1600年的歐洲文藝復(fù)興，使得整個(gè)歐洲全面覺醒。一方面，社會(huì)生產(chǎn)力迅速提高，科學(xué)和技術(shù)得到迅猛發(fā)展；另一方面，社會(huì)需求的急需增長(zhǎng)，也為科學(xué)研究提出了大量的問(wèn)題。這一時(shí)期，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題，以常量為主要研究對(duì)象的古典數(shù)學(xué)已不能滿足要求，科學(xué)家們開始由對(duì)以常量為主要研究對(duì)象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對(duì)象的研究上來(lái)，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段。微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀(jì)的一系列主要的科學(xué)問(wèn)題。有四種主要類型

5、的科學(xué)問(wèn)題：第一類是，已知物體的移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；第二類是，望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)使得求曲線的切線問(wèn)題變得不可回避；第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行星離開太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題也急待解決；第四類問(wèn)題是求行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力等，又使面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力等微積分基本問(wèn)題的計(jì)算被重新研究。在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。這里我們只簡(jiǎn)單介紹在微

6、積分醞釀階段最具代表性的幾位科學(xué)大師的工作。開普勒(J.Kepler,1571-1630)與無(wú)限小元法。德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒在1615年發(fā)表的《測(cè)量酒桶的新立體幾何》中，論述了其利用無(wú)限小元求旋轉(zhuǎn)體體積的積分法。他的無(wú)限小元法的要旨是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，如他認(rèn)為球的體積是無(wú)數(shù)個(gè)頂點(diǎn)在球心底面在球上的小圓錐的體積的和?？ㄍ吡欣?B.Cavalieri,1598-1647)與不可分量法。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作《用新方法推進(jìn)的連續(xù)的不可分量的幾何學(xué)》(1635)中系統(tǒng)地發(fā)展了不可分

7、量法。他認(rèn)為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成線，線運(yùn)動(dòng)形成面，體則是由無(wú)窮多個(gè)平行平面組成，并分別把這些元素叫做線、面和體的不可分量。他建立了一條關(guān)于這些不可分量的一般原理（后稱卡瓦列里原理，即是我國(guó)的祖氏原理）：如果在等高處的橫截面有相同的面積，兩個(gè)有同高的立體有相同的體積。利用這個(gè)原理他解決了開普勒的旋轉(zhuǎn)體體積的問(wèn)題。巴羅(I.Barrow,1630-1677)與“微分三角形”。巴羅是英國(guó)的數(shù)學(xué)家，在1669年出版的著作《幾何講義》中，他利用微分三角形（也稱特征三角形）求出了曲線的斜率。他的方法的實(shí)質(zhì)是把切線看作割線的極限位置，并利用忽略高階無(wú)

8、限小來(lái)取極限。巴羅是牛頓的老師，英國(guó)劍橋大學(xué)的第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的首批會(huì)員。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)到牛頓的杰出才能時(shí)，便于1669年辭去盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生----當(dāng)時(shí)才27歲的牛頓來(lái)?yè)?dān)任。巴羅讓賢已成為科學(xué)史上的佳話。笛卡兒(R.Descarte