數(shù)值分析課件 第章 緒論

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1、第一章緒論上世紀(jì)中葉誕生的計(jì)算機(jī)給科學(xué)、工程技術(shù)和人類的社會(huì)生活帶來一場新的革命。它使科學(xué)計(jì)算平行于理論分析和實(shí)驗(yàn)研究，成為人類探索未知科學(xué)領(lǐng)域和進(jìn)行大型工程設(shè)計(jì)的第三種方法和手段。在獨(dú)創(chuàng)性工作的先行性研究中，科學(xué)計(jì)算更有突出的作用。在今天，熟練地運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，已成為科學(xué)工作者的一項(xiàng)基本技能。然而，科學(xué)計(jì)算并不是計(jì)算機(jī)本身的自然產(chǎn)物，而是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)結(jié)合的結(jié)果，它的核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件為工具，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模擬研究。近年來，它同時(shí)也成為數(shù)學(xué)科學(xué)本身發(fā)展的源泉和途徑之一。1

2、數(shù)值分析的研究對象與特點(diǎn)數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。129一般地說，用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題，首先需要針對實(shí)際問題提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后為解決數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出數(shù)值計(jì)算方法，經(jīng)過程序設(shè)計(jì)之后上機(jī)計(jì)算，求出數(shù)值結(jié)果，再由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。概括為實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果由實(shí)際問題的提出到上機(jī)求得問題的解答的整個(gè)過程都可看作是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。如果細(xì)分的話，由實(shí)際問題應(yīng)用有關(guān)科學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型這

3、一過程，通常作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)，而根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)計(jì)算出結(jié)果，這一過程則是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)，即數(shù)值分析研究的對象。因此，數(shù)值分析是尋求數(shù)學(xué)問題近似解的方法、過程及其理論的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。它以純數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)，但卻不完全像129純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論，而是著重研究數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論，包括方法的收斂性，穩(wěn)定性及誤差分析；還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)研究計(jì)算時(shí)間最?。ɑ蛴?jì)算費(fèi)用最省）的計(jì)算方法。有的方法在理論上雖然還不夠完善與嚴(yán)密，但通過對比分析，實(shí)際計(jì)算和實(shí)踐檢驗(yàn)

4、等手段，被證明是行之有效的方法也可采用。因此數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際試驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。在電子計(jì)算機(jī)成為數(shù)值計(jì)算機(jī)的主要工具以后，則要求研究適合計(jì)算機(jī)使用的，滿足精確要求，計(jì)算時(shí)間省的有效算法及其相關(guān)的理論。在實(shí)現(xiàn)這些算法時(shí)往往還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的容量、字長、速度等指標(biāo)，研究具體的求解步驟和程序設(shè)計(jì)技巧。有的方法在理論上雖還不夠嚴(yán)格，但通過實(shí)際計(jì)算、對比分析等手段，證明是行之有效的方法，也應(yīng)采用。這些就是數(shù)值分析

5、具有的特點(diǎn)，概括起來有四點(diǎn)：第一，面向計(jì)算機(jī)，要根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供切實(shí)可行的有效算法。即算法只能包括加、減、乘、除運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，這些運(yùn)算是計(jì)算機(jī)能直接處理的運(yùn)算。.第二，有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精確要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對誤差進(jìn)行分析。這些都建立在相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上。129第三，要有好的計(jì)算復(fù)雜性，時(shí)間復(fù)雜性好是指節(jié)省時(shí)間，空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲(chǔ)量，這也是建立算法要研究的問題，他關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第四，要有數(shù)值試驗(yàn)，即任何一個(gè)算法除了從理論上要滿足上述三點(diǎn)

6、外，還要通過數(shù)值試驗(yàn)證明是行之有效的。根據(jù)“數(shù)值分析”課程的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)是我們首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論；其次，要通過例子，學(xué)習(xí)使用各種數(shù)值方法解決實(shí)際計(jì)算問題；最后，為了掌握本課的內(nèi)容，還應(yīng)作一定數(shù)量的理論分析與計(jì)算練習(xí)。由于本課內(nèi)容包括了微積分、代數(shù)、常微分方程的數(shù)值方法，讀者必須掌握這幾門課的基本內(nèi)容才能學(xué)好這門課。2數(shù)值計(jì)算的誤差2.1誤差來源與分類我們算出數(shù)學(xué)模型的近似解和129一個(gè)物理量的真的值往往不相等，它

7、們之差稱為誤差。用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行解決實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算，誤差是不可避免的。引起數(shù)值結(jié)果中的誤差的模型誤差觀測誤差誤差來源計(jì)算誤差固有誤差截?cái)嗾`差舍入誤差原因是多方面，通常來自固有誤差和計(jì)算誤差，如下面所示：模型誤差：用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，首先必須建立該問題的數(shù)學(xué)模型。即把實(shí)際問題經(jīng)過抽象，忽略一些次要的因素，簡化成一個(gè)確定的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)模型只是對實(shí)際問題的一種近似、一種粗糙的描述，因而它與實(shí)際問題或客觀現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱為“模型誤差”。這樣的誤差129常常是可以忽略不計(jì)的。例如在經(jīng)典力學(xué)問

8、題中，我們常常忽略相對論效應(yīng)。但是，如果這種誤差不可忽略，說明數(shù)學(xué)模型選擇得不好。那么不論數(shù)值計(jì)算多么精確，其結(jié)果都將存在不可忽略的誤差。觀測誤差：數(shù)學(xué)問題中總包含一些參量（或物理量，如電壓、電流、溫度、長度等），它們的值（輸入數(shù)據(jù)）往往是由觀測得到的。而觀測的誤差是難以避免的，由此產(chǎn)生的誤差稱為“觀測誤差”。由于觀測誤差通常具有隨機(jī)的性質(zhì)，所以想用分析的方法來估計(jì)它們的影響常常是一件非常困難的事。由于固有誤差的