靜電場之均勻帶電球面球體和球殼的電場

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1、{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(1)一均勻帶電球面，半徑為R，帶電量為Q，求電荷產(chǎn)生的電場強度和電勢。如果電荷均勻分布在同樣大小的球體內(nèi)，求球體的電場強度和電勢。(2)一均勻帶電球殼，內(nèi)部是空腔，球殼內(nèi)外半徑分別為R0和R，帶電量為Q，求空間各點的電場強度和電勢，對于不同的球殼厚度，電場強度和電勢隨距離變化的規(guī)律是什么？[解析](1)如圖所示，不論球面還是球體，由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所激發(fā)的電場也是球?qū)ΨQ的，用高斯定理求解比較簡單。設(shè)Q>0，不論場點在球內(nèi)還是在球外，由于對稱的緣故，電場線都沿著球心到場點的連線。對于球外的點P1，以O(shè)為球心，過P1點作一個半

2、徑r的高斯球面S1。在P1點取一個面積元dS，其法線方向與場強方向一致，通過該面積元的電通量為dΦE=E·dS。S1rEP1rORQ{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場通過高斯面的電通量為=E4πr2高斯面所包圍的電量為Q，根據(jù)高斯定理ΦE=Q/ε0，可得場強大小當(dāng)Q>0時，場強的方向沿著徑向向外；當(dāng)Q<0時，場強的方向沿著徑向向內(nèi)。(r>R)ES2P2rS1EP1rORQdΦE=E·dS。對于球面內(nèi)的點P2，同樣作高斯面，高斯面內(nèi)Q=0，根據(jù)高斯定理得E=0(r

3、場強相同。在球的外表面，場強大小為可見：球面內(nèi)外的場強發(fā)生躍變。{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場取無窮遠處的電勢為零，取一條從P1開始的電場線作為積分路徑，則P1的電勢為當(dāng)r=R時，球殼外表面的電勢為(r>R)可見：均勻帶電球面外各點的電勢與電荷全部集中在球心處的點電荷所產(chǎn)生的電勢相同。E=0(rR)(r

4、強度和電勢與均勻帶電球面的公式是相同的。在球體內(nèi)取一個高斯面，高斯面內(nèi)有電荷，并且電荷的體密度處處相等。球體的全部體積為VR=4πR3/3，電荷的體密度為ρ=Q/VR，高斯面內(nèi)的體積為Vr=4πr3/3，高斯面內(nèi)的電量為q=ρVr=QVr/VR=Qr3/R3，根據(jù)高斯定理得方程ΦE=E4πr2=q/ε0，球體內(nèi)場強為(r

5、強隨距離的增加而減小。在球面的內(nèi)外表面，電場強度不連續(xù)。均勻帶電球面內(nèi)外的電勢是連續(xù)的，球面內(nèi)電勢是一個常量，球面外電勢隨距離的增加而減小。球體內(nèi)場強與距離成正比，球體外的電場強度與球面外電場強度的變化規(guī)律是相同的；在球的內(nèi)外表面，電場強度是連續(xù)的。均勻帶電球體中心的電勢最高，球體內(nèi)的電勢隨距離的增加而加速減小，球體外電勢與球面外電勢的變化規(guī)律是相同的。{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(2)一均勻帶電球殼，內(nèi)部是空腔，球殼內(nèi)外半徑分別為R0和R，帶電量為Q，求空間各點的電場強度和電勢，對于不同的球殼厚度，電場強度和電勢隨距離變化的規(guī)律是什么？根據(jù)高斯定理可先求電場

6、強度，再求電勢。反過來，利用均勻帶電球體的電勢先求球殼的電勢，再求電場。均勻帶電球體的電量與電荷體密度的關(guān)系為球體外部的電勢用電荷密度表示為(r>R)球體內(nèi)部的電勢用電荷密度表示為(rR)在球殼的空腔中同時填充兩個半徑為R0，電荷體密度為ρ和-ρ的球體，空間各點的電勢就是半徑分別為R和R0，電荷體密度分別為ρ和-ρ的均勻帶電體球產(chǎn)生的。(r

7、電勢為空腔內(nèi)的電勢為常量。A點的場強大小為(r≤R0)AOR0BRrArBCrC{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場B點在正電荷球體之內(nèi)，負電荷球體之外，正負電荷球產(chǎn)生的電勢為(r>R)(rR)(r