靜電場(chǎng)之均勻帶電球面球體和球殼的電場(chǎng)

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1、{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(chǎng)(1)一均勻帶電球面，半徑為R，帶電量為Q，求電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)。如果電荷均勻分布在同樣大小的球體內(nèi)，求球體的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)。(2)一均勻帶電球殼，內(nèi)部是空腔，球殼內(nèi)外半徑分別為R0和R，帶電量為Q，求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，對(duì)于不同的球殼厚度，電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)隨距離變化的規(guī)律是什么？[解析](1)如圖所示，不論球面還是球體，由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所激發(fā)的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，用高斯定理求解比較簡(jiǎn)單。設(shè)Q>0，不論場(chǎng)點(diǎn)在球內(nèi)還是在球外，由于對(duì)稱的緣故，電場(chǎng)線都沿著球心到場(chǎng)點(diǎn)的連線。對(duì)于球外的點(diǎn)P1，以O(shè)為球心，過(guò)P1點(diǎn)作一個(gè)半徑r的高斯

2、球面S1。在P1點(diǎn)取一個(gè)面積元dS，其法線方向與場(chǎng)強(qiáng)方向一致，通過(guò)該面積元的電通量為dΦE=E·dS。S1rEP1rORQ{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(chǎng)通過(guò)高斯面的電通量為=E4πr2高斯面所包圍的電量為Q，根據(jù)高斯定理ΦE=Q/ε0，可得場(chǎng)強(qiáng)大小當(dāng)Q>0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著徑向向外；當(dāng)Q<0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著徑向向內(nèi)。(r>R)ES2P2rS1EP1rORQdΦE=E·dS。對(duì)于球面內(nèi)的點(diǎn)P2，同樣作高斯面，高斯面內(nèi)Q=0，根據(jù)高斯定理得E=0(r

3、面，場(chǎng)強(qiáng)大小為可見：球面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)發(fā)生躍變。{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(chǎng)取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，取一條從P1開始的電場(chǎng)線作為積分路徑，則P1的電勢(shì)為當(dāng)r=R時(shí)，球殼外表面的電勢(shì)為(r>R)可見：均勻帶電球面外各點(diǎn)的電勢(shì)與電荷全部集中在球心處的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)相同。E=0(rR)(r

4、是相同的。在球體內(nèi)取一個(gè)高斯面，高斯面內(nèi)有電荷，并且電荷的體密度處處相等。球體的全部體積為VR=4πR3/3，電荷的體密度為ρ=Q/VR，高斯面內(nèi)的體積為Vr=4πr3/3，高斯面內(nèi)的電量為q=ρVr=QVr/VR=Qr3/R3，根據(jù)高斯定理得方程ΦE=E4πr2=q/ε0，球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為(r

5、電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)。均勻帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)是連續(xù)的，球面內(nèi)電勢(shì)是一個(gè)常量，球面外電勢(shì)隨距離的增加而減小。球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)與距離成正比，球體外的電場(chǎng)強(qiáng)度與球面外電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律是相同的；在球的內(nèi)外表面，電場(chǎng)強(qiáng)度是連續(xù)的。均勻帶電球體中心的電勢(shì)最高，球體內(nèi)的電勢(shì)隨距離的增加而加速減小，球體外電勢(shì)與球面外電勢(shì)的變化規(guī)律是相同的。{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(chǎng)(2)一均勻帶電球殼，內(nèi)部是空腔，球殼內(nèi)外半徑分別為R0和R，帶電量為Q，求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，對(duì)于不同的球殼厚度，電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)隨距離變化的規(guī)律是什么？根據(jù)高斯定理可先求電場(chǎng)強(qiáng)度，再求電勢(shì)。反過(guò)來(lái)，利用均勻帶電球體的電勢(shì)先求

6、球殼的電勢(shì)，再求電場(chǎng)。均勻帶電球體的電量與電荷體密度的關(guān)系為球體外部的電勢(shì)用電荷密度表示為(r>R)球體內(nèi)部的電勢(shì)用電荷密度表示為(rR)在球殼的空腔中同時(shí)填充兩個(gè)半徑為R0，電荷體密度為ρ和-ρ的球體，空間各點(diǎn)的電勢(shì)就是半徑分別為R和R0，電荷體密度分別為ρ和-ρ的均勻帶電體球產(chǎn)生的。(r

7、0BRrArBCrC{范例9.6}均勻帶電球面、球體和球殼的電場(chǎng)B點(diǎn)在正電荷球體之內(nèi)，負(fù)電荷球體之外，正負(fù)電荷球產(chǎn)生的電勢(shì)為(r>R)(rR)(r