中點(diǎn)弦問(wèn)題 蔡汶伯

《中點(diǎn)弦問(wèn)題 蔡汶伯》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題定理在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則有，得又同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.補(bǔ)充：kakb也是定值典題妙解例1設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最大值和最小值.直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)

2、題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題例1過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，，又A、B兩

3、點(diǎn)在橢圓上，則，，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過(guò)A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題例2過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題例3求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論引理設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則。設(shè)A、B

4、則……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，上面的結(jié)論就是過(guò)二次曲線C上的點(diǎn)P的切線斜率公式，即）推論1設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時(shí)，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為）推論2設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（注：對(duì)a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為）推論3設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過(guò)P點(diǎn)的切線斜率為）推論4設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為練：由點(diǎn)向拋物線引弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到弦的端點(diǎn)A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物

5、線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。故得所求弦中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。評(píng)注：（1）求點(diǎn)的軌跡方程即是求曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動(dòng)點(diǎn)與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于，的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。（2）弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點(diǎn)C，則有，（1）－（2）得，∴，將，，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)，并能運(yùn)用。練2已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。解：