中點弦問題 蔡汶伯

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1、關于圓錐曲線的中點弦問題定理在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設M、N兩點的坐標分別為、，則有，得又同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.補充：kakb也是定值典題妙解例1設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O為坐標原點，點P滿足，點N的坐標為.當繞點M旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最大值和最小值.直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，

2、也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題例1過橢圓內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設直線與橢圓的交點為

3、A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，，又A、B兩點在橢圓上，則，，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），則另一個交點為B(4-)，因為A、B兩點在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點的軌跡方程問題例2過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。三、弦中點的坐標問題例3求直線被拋物線截得線段的中點坐標。解：上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本

4、解法。下面我們看一個結論引理設A、B是二次曲線C：上的兩點，P為弦AB的中點，則。設A、B則……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（說明：當時，上面的結論就是過二次曲線C上的點P的切線斜率公式，即）推論1設圓的弦AB的中點為P（，則。（假設點P在圓上時，則過點P的切線斜率為）推論2設橢圓的弦AB的中點為P（，則。（注：對a≤b也成立。假設點P在橢圓上，則過點P的切線斜率為）推論3設雙曲線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在雙曲線上，則過P點的切線斜率為）推論4設拋物線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在拋物線上，則過點

5、P的切線斜率為練：由點向拋物線引弦，求弦的中點的軌跡方程。分析：解決問題的關鍵是找到弦的端點A、B在直線上的性質和在拋物線上的性質的內在聯(lián)系。故得所求弦中點的軌跡方程是在拋物線內部的部分。評注：（1）求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點與已知條件的內在聯(lián)系，列關于，的關系式，進而求出軌跡的方程。（2）弦中點軌跡問題設拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點C，則有，（1）－（2）得，∴，將，，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點的關系，要學會推導，并能運用。練

6、2已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點軌跡方程。解：