數(shù)學(xué)實驗教程_實驗17(拉格朗日乘數(shù)法)

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1、實驗17拉格朗日乘數(shù)法-99-實驗17拉格朗日乘數(shù)法實驗?zāi)康耐ㄟ^二維情形Lagrange乘數(shù)法的幾何觀察，幫助學(xué)生理解Lagrange乘數(shù)法，并掌握利用數(shù)學(xué)軟件求解帶等式約束條件的極值問題。預(yù)備知識條件極值、Lagrange乘子法實驗內(nèi)容Lagrange乘數(shù)法是解有約束最優(yōu)化問題的一種方法。問題的形式為：最大化（或最小化）；約束條件?！静襟E】：為了具體，我們考察如下問題：最大化（或最小化）；約束條件?！維tep1】：畫出約束曲線和的一些等值線，觀察可能的最優(yōu)值：圖17-1等值線與可行域圖從圖中觀察，要得到最優(yōu)值，需要尋找約束曲線和等值

2、曲線相切時的等值曲線值和它們的交點?！境绦颉浚篗athematica程序constrainpic=Plot[{Sqrt[1-x^2],-Sqrt[1-x^2]},{x,-1,1},AspectRatio?實驗17拉格朗日乘數(shù)法-99-Automatic,Axes?True,PlotStyle?{{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}}];f[x_,y_]:=y-x^2;fpic=ContourPlot[f[x,y],{x,-1.4,1.4},{y,-1.4,1.4},ContourShading?False

3、];Show[{constrainpic,fpic}]【Step2】：尋找曲線之間相切的點由于的梯度是垂直于約束的（因為是的等值曲線），而且的梯度是垂直于的等值曲線的，因此當兩個梯度互為倍數(shù)關(guān)系時，這兩條曲線就相切了。我們要做的就是解關(guān)于變量的方程組：我們可以利用Mathematica來解這個方程組。【程序】：Mathematica程序g[x_,y_]:=x^2+y^2-1;gradf[x_,y_]={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]};gradg[x_,y_]={D[g[x,y],x],D[g[x,y],y]};Sol

4、ve[{gradf[x,y]lamdagradg[x,y],g[x,y]==0},{x,y,lamda}]注：并不是所有的這種方程都可由Solve求解，可以使用FindRoot命令求出某點附近的根。FindRoot[{g[x,y]0,gradf[x,y][[1]]lambdagradg[x,y][[1]],gradf[x,y][[2]]lambdagradg[x,y][[2]]},{x,1},{y,-0.6},{lambda,0.8}]{x?0.866025,y?-0.5,lambda?-1.}【Step3】：確定最大值或者最小值。實

5、驗17拉格朗日乘數(shù)法-99-f[-Sqrt[3]/2,-1/2]f[Sqrt[3]/2,-1/2]f[0,-1]-1f[0,1]1最小值為：，最大值為：1。實驗練習(xí)求位于橢球面上的最大值和最小值，并對得到的結(jié)果作出幾何解釋。