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《拉格朗日乘數(shù)法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1.應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，求下列函數(shù)的條件極值：（1）若（2）若（其中）；（3），若.解(1)設(shè)對L求偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于0,則有解之得由于當時,.故函數(shù)必在唯一穩(wěn)定點處取得極小值,極小值(2)設(shè)且解方程組得由于當n個正數(shù)的積一定時,其和必有最小值,故f一定存在唯一穩(wěn)定點(c,c,c,c)取得最小值也是極小值,所以極小值f(c,c,c,c)=4c.(3)設(shè),并令解方程組得的六組值為:,,,,.又在有界閉集上連續(xù),故有最值.因此,極小值為極大值為2.(1)求表面積一定而體積最大的長方體；（2）求體積一定而表面積最小的
2、長方體。解：（1）設(shè)長方體的長、寬、高分別為，表面積為，則體積為，限制條件為。設(shè)并令解得。因此求長方體體積有最大值，且穩(wěn)定點只有一個，所以最大值。故表面積一定而體積最大的長方體是正立方體.（2）設(shè)長方體的長、寬、高分別為，體積為,則表面積,限制條件:.設(shè)并令解得故體積一定而表面積最小的長方體是正立方體.3.求空間一點到平面的最短距離.解:由題意,相當于求在條件下的最小值問題.由幾何學(xué)知,空間定點到平面的最短距離存在.設(shè)且由(1),(2),(3)得,,.代入(4)解得.所以故為所求最短距離.4.證明:在個正數(shù)的和為定
3、值條件下,這個正數(shù)的乘積的最大值為.并由此結(jié)果推出個正數(shù)的幾何中值不大于算術(shù)中值.證:設(shè),,,解得由題意知,最大值在唯一穩(wěn)定點取得.所以.故因此.5.設(shè)為已知的個正數(shù)，求在限制條件下的最大值。解先求在條件下的條件最大值。為此，設(shè)令，解得此時，有于是，在條件下的最大值為故在條件下的最大值為（注此題也可用柯西不等式，方法更簡。）6．求函數(shù)在條件下的最小值。解設(shè)令解得依題意，相當于求維空間中原點到超平面的最短距離。由幾何知，最短距離存在，而穩(wěn)定點只有一個，故一定在唯一穩(wěn)定點處取得最小值，故
