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《拉格朗日乘數(shù)法.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、1.應用拉格朗日乘數(shù)法，求下列函數(shù)的條件極值：（1）f(,)x2y2,若xy10;xy（2）f(x,y,z,t)xyzt,若xyztc4（其中x,y,z,t,0,c0）；（3）f(x,y,z)xyz，若x2y2z21,xyz0.解(1)設L(x,y,)x2y2(xy1)對L求偏導數(shù),并令它們都等于0,則有Lx2x0,Ly2y0,Lzxy10.解之得xy1,1.由于當x,y時,f.故函數(shù)必在唯一穩(wěn)定點處2111取得極小值,極小值f(,2).22(2)設L(x,y,z,t,)xyzt(xyztc4)且Lx1yzt0,Ly1xzt0
2、,Lz1xyt0,Lt1xyz0,Lxyztc40,解方程組得xyztc.由于當n個正數(shù)的積一定時,其和必有最小值,故f一定存在唯一穩(wěn)定點(c,c,c,c)取得最小值也是極小值,所以極小值f(c,c,c,c)=4c.(3)設L(x,y,z,,u)xyz(x2y2z21)u(xyz),并令Lxyz2xu0,Lyxz2yu0,Lzxy2zu0,Lx2y2z210,Luxyz0,解方程組得x,y,z的六組值為:12111x1xxxxx6666661121,y22y,y,y,yy.66666621121z1zzzzz666666又f(
3、x,y,z)xyz在有界閉集{(x,y,z)
4、x2y2z21,xyz0}上連續(xù),故有最值.因此,極小值為f(1,1,2)f(2,1,1)31,6666666極大值為f(1,1,2)f(2,1,1)31.66666662.(1)求表面積一定而體積最大的長方體；（2）求體積一定而表面積最小的長方體。解：（1）設長方體的長、寬、高分別為x,y,z，表面積為a2(a0)，則體積為f(x,y,z)xyz，限制條件為2(xyyzxz)a2。設L(x,y,z,)xyz[2(xyyzxz)a2]Lxyz2(yz)0,并令Lyxz2(xz)0,
5、Lzxy2(xy)0,L2(xyyzxz)a20,解得xyza。6因此求長方體體積有最大值，且穩(wěn)定點只有一個，所以最大值故表面積一定而體積最大的長方體是正立方體.f(a,a,a)a3。66666（2）設長方體的長、寬、高分別為x,y,z，體積為V,則表面積f(x,y,z)2(xyyzxz),限制條件:xyzV.設L(x,y,z,)2(xyyzxz)(xyzV)Lx2(yz)yz0,并令Ly2(xz)xz0,解得xyz3VLz2(xy)xy0,LxyzV0,故體積一定而表面積最小的長方體是正立方體.3.求空間一點(x0,y0,
6、z0)到平面AxByCzD0的最短距離.解:由題意,相當于求f(x,y,z)d2(xx0)2(yy0)2(zz0)2在條件AxByCzD0下的最小值問題.由幾何學知,空間定點到平面的最短距離存在.設L(x,y,z,)f(x,y,z)(AxByCzD)且Lx2(xx0)A0,(1)Ly2(yy0)B0,(2)Lz2(zz0)C0,(3)LAxByCzD0,(4)由(1),(2),(3)得xx0A,yy0B,zz0C.222代入(4)解得2(Ax0By0Cz0D).A2B2C2所以(xx0)2(yy0)2(zz0)212(A2B2
7、C2)Ax0By0Cz0D4A2B2C2故dAx0By0Cz0DA2B2C2為所求最短距離.4.:在n個正數(shù)的和為定值條件x1x2xna下,這n個正數(shù)的乘積x1x2xn的證明最大值為an.并由此結果推出n個正數(shù)的幾何中值不大于算術中值nnnx1x2xnx1x2nxn.證:設f(x1,x2,xn)x1x2xn,L(x1,x2,xn,)f(x1,x2,xn)(x1x2xna),(x1,x2,,xn0),Lx1x1x2xnx10,Lx2x1x2xnx20,a解得x1x2xnLxnx1x2xnxn0,nLx1x2xna0,(4)由題意
8、知,最大值在唯一穩(wěn)定點取得.f(a,a,,a)n所以f最大an.nnnn故nx1x2xnnanax1x2xnnnnn因此nx1x2xnx1x2xn.n5.設a1,a2,an為已知的n個正數(shù)，求nf(x1,x2,xn)akxkk1在限制條件x2x2x2112n下的最大值。n解先求f在條件xi2a2(0a1)下的條件最大值。為此，設i1nnxk2a2)(0a1)L(x1,x2,xn,)akxk(k1k1Lxkak2xk0(k1,2,,n)令Lnxka20，k1解得n1xkaka/(ak)2)(k1,2,,n),k11n1(ak2)
9、2.2ak1此時，有nn1akxka(ak2)2.k1k1nn1n于是，f在條件xk2a2下的最大值為a(ak2)2.故f在條件xk21下的最大值為k1k1k1supn1n1ak2)2ak2)2.((0a1k1k1（注此題也可用柯西不等式，方法更簡。）6．求函數(shù)f(x1,x2
