圓錐曲線平行弦中點的軌跡

《圓錐曲線平行弦中點的軌跡》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、圓錐曲線平行弦中點的軌跡江夏一中胡成波直線與圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)永恒的主題，本節(jié)我們探討一下圓錐曲線中平行弦中點的軌跡。例1.已知：拋物線y=4x,斜率為2的直線與拋物線交于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程。解：設(shè)中點M（x,y）,A(x,y),B(x,y)設(shè)直線AB：y=2x+n由得（2x+n）=4x∴4x+4(n-1)x+n=0y=4x△=16(n-1)-16n＞0A(x,y)∴n＜x+x=1-n∴x==B(x,y)∴y=2．+n=1∵n＜∴x=＞∴所求軌跡方程為y=1(x＞)此題的另一種解法：點

2、差法由得（y+y）（y-y）=4（x-x）∴=∴2=∴y=1再求解法知x＞∴所求弦AB中點M的軌跡方程為：y=1(x＞)注：用點差法求弦中點的軌跡方程很簡單，但不容易求出點的軌跡方程的定義域。由例1知，拋物線y=4x的一組平行弦中點的軌跡在一條直線上，對于一般拋物線是否成立呢？我們現(xiàn)在來證明。不妨設(shè)拋物線y=4x（p＞0），直線y=kx+n,（其中k是常數(shù)，且k≠0，n是參數(shù)）直線與拋物線交點為A(x,y),B(x,y),AB中點為M（x,y）由得kx+2knx+n=2px∴kx+2(kn-p)x+n=

3、0∴4(kn-p)-4kn＞0∴kn-2pkn+p-kn＞0∴2kn＜p推出kn＜∴x+x=-=n∴x==-=∴y=kx+n=-+n=∵kn＜∴x=＞=所求弦AB中點軌跡方程為=（x＞）在x軸上，當(dāng)弦AB斜率不存在時，弦AB中點都在一條直線上，由此可知：拋物線一組平行弦中點都在一條直線上，此結(jié)論對于其他圓錐曲線是否成立呢？我們以橢圓為例。例2；已知橢圓+=1（a＞b＞0）.斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程。解：設(shè)直線AB：y=kx+n(k＞0),A(x,y),B(x

4、,y)弦AB中點M（x,y）由得:∴△=＞0∴n＜∴-＜n＜-又x+x=-∴x==-∴y=k．(-)+n=-由消去參數(shù)n得y=-又∵-＜n＜∴-＜x＜所求中點M軌跡方程為y=-x(-＜x＜)當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB中點M軌跡方程為x=0(-b＜y＜b),當(dāng)直線AB斜率不存在時，弦AB中點M軌跡方程為y=0(-a＜x＜a).由此可知：橢圓一組平行線中點弦的軌跡在一條直線上，并且這條直線的斜率存在，則斜率為-此題也可用點差法求弦中點的軌跡。過程如下：由得當(dāng)x=x時，弦AB中點M軌跡方程為y=0(-a＜y

5、＜a)當(dāng)y=y時，弦AB中點M軌跡方程為x=0(-b＜y＜b)當(dāng)x≠x且y≠y時=-∴k=-．∴y=-再由方法一求出x的取值范圍。讓大家由練習(xí)觀察：練習(xí)1：已知雙曲線-=1，斜率為1的直線與雙曲線交于A，B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程。練習(xí)2：已知雙曲-=1，斜率為1的直線與雙曲線交于A，B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程。練習(xí)1答案：y=2x(x∈R),練習(xí)2答案:y=(x＞2或x＜-2)此結(jié)論對于雙曲線也是成立的結(jié)論：雙曲線與斜率為k（k≠0）的直線交于A,B兩點，弦AB中點軌跡方程為：y=定義域留

6、給大家研究。