圓錐曲線的動弦中點(diǎn)軌跡方程.doc

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1、圓錐曲線的動弦中點(diǎn)軌跡方程圓錐曲線的動弦中點(diǎn)軌跡方程問題主要有以下三種類型：一、過定點(diǎn)的動弦中點(diǎn)的軌跡方程例1：已知橢圓，過點(diǎn)引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程，消去，整理得，設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則，，代入得，即又過點(diǎn)的直線與橢圓相交，所以解得，即，解得。當(dāng)不存在時(shí)，不滿足題設(shè)要求，舍去。所以割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）解法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則兩式相減得，整理得，由題意知，所以，又，所以，整理得。又過點(diǎn)的直線與橢圓相交

2、，與解法一同理可得。所以割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）注意：⑴當(dāng)定點(diǎn)在圓錐曲線外的時(shí)候一定要驗(yàn)證直線與圓錐曲線相交的條件，并求出（或）的取值范圍；⑵驗(yàn)證斜率不存在的情況是否符合題意。二、斜率為定值的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程例2：斜率為2的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)、，求動弦中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)斜率為2的直線方程為，聯(lián)立方程消去，并整理得，設(shè)交點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則，所以，代入可得。又直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，所以，解得或，又，所以或。所以動弦中點(diǎn)軌跡方程為（或）三、長為定值的動弦中點(diǎn)的軌跡方程例3：定長為（

3、）的線段，其兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則，兩式相減得，由題意知，所以所以直線的方程為，代入得，由弦長公式以及韋達(dá)定理得，，所以，整理得所以中點(diǎn)的軌跡方程為