向量中的定值與最值

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1、向量中的定值與最值向量中的定值與最值問題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，能綜合考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考在知識點(diǎn)交匯處命題的思想，是高考的熱點(diǎn)，本文舉列探求向量中多種形式的最值問題的求解策略一，模的最值例1．若，則的取值范圍是。分析;利用向量模不等式求解。解：，當(dāng)同向時，；當(dāng)反向時，；當(dāng)不共線時，，即，綜上可知：。評注：運(yùn)用向量模不等式求范圍時要注意等號成立的條件。例2(湖北高考題)已知向量b=，c=.求向量b+c的長度的最大值；解析:b+c=則

2、b+c

3、2

4、=.，

5、b+c

6、，即

7、b+c

8、≤2所以向量b+c的長度的最大值為2.評注：運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求最值是最常見的方法之一。例3（全國卷)已知

9、a

10、=

11、b

12、=1，ab，滿足(a-c)(b-c)=0，求

13、c

14、的最大值。解析:由(a-c)(b-c)=0得c2=(a+b)c，(其中a+b與c的夾角為)

15、c

16、=

17、a+b

18、cos=cos。

19、c

20、的最大值為變式(2011遼寧卷)若向量a、b、c均為單位向量，且ab＝0，(a-c)(b-c)0，則

21、a+b-c

22、的最大值為()A．-1B.1C.D。2解析:由ab＝0，(a-c

23、)(b-c)0，得ac+bcc2=1，(a+b-c)2=1+1+1-2(ac+bc)1.

24、a+b-c

25、1.變式(2013湖南文)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足

26、c－a－b

27、＝1，則

28、c

29、的最大值為(　　)．A．B．C．D．例4已知a=(cos550,sin550),b=(cos250,sin250)求

30、a-b

31、的最小值。分析:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解解析:ab=cos550cos250+sin550sin250=cos300=,

32、a-b

33、2=a2-2ab+2b2=2-+1=,故

34、a-b

35、的最小值

36、為。評注：平方是向量模求解的基本方法，本題利用二次函數(shù)求最值。例5，(浙江高考題)已知平面向量滿足，且與的夾角為1200，求的最大值分析:利用正弦定理構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解解析:記，由正弦定理得，又，即，故的最大值為評注：本題考查向量模，及向量減法的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是利用正弦定理構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解。例6（２０１１全國卷）設(shè)向量a、b、c滿足｜a｜＝｜b｜＝１，ab＝－，＜a－c，b－c＞＝６００，則｜c(diǎn)｜的最大值等于()A.2B.C.D。1分析:轉(zhuǎn)化為幾何圖形求解解析:如圖，設(shè)=a，=b，

37、=c，則=a－c，=b－c。｜a｜＝｜b｜＝１，OA=OB=1.又ab＝－，｜a｜｜b｜c(diǎn)os－,cos－,1200.又＜a－c，b－c＞＝６００，而1200+６００=1800.O、A、C、B四點(diǎn)共圓。當(dāng)OC為圓的直徑時，｜c(diǎn)｜最大，此時，Rt全等于Rt，，。故選A評注:本題主要考查了向量的運(yùn)算，把題中所給條件轉(zhuǎn)化為圖形語言是本題的難點(diǎn)所在。變式(2011天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD

38、

39、BC，=9００，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則

40、

41、的最小值為__________。分析:建立平面直角

42、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。解析:以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為xy軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=a,DP=x.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,-x),(1,a-x),=(5,3a-4x),

43、

44、2=25+(3a-4x)225,

45、

46、的最小值為5.評注:本題主要考查向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算，考查運(yùn)算能力及觀察、分析問題的能力一，數(shù)量積的最值例7在正方形ABCD中，已知AB=2，M為BC的中點(diǎn)，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，求的最大值解析:以AB,AD所在

47、直線為x,y軸，建立直角坐標(biāo)系，則B（2，0）,D（0，2）,C（2，2）,M（2，1）,設(shè)N(x,y)，則，且知在點(diǎn)(2,2)處取最大值6.例8四邊形ABCD中，G為的重心，AG=2，點(diǎn)O在AG上，求(++)的最小值解析:G為的重心0，又++=+，點(diǎn)O在AG上(++)==-3，故(++)的最小值是-3.評注：本題主要考查共線向量，向量數(shù)量積等基本知識，注意重心的向量表示及運(yùn)用二次函數(shù)求最值的思想。例9已知，，且Q是直線OP上的一點(diǎn)(O為原點(diǎn))，求的最小值。解析:O,P,Q三點(diǎn)共線，故設(shè)==，所以當(dāng)=2時

48、，取最小值-8.評注：本題主要考查共線向量，向量數(shù)量積等基本知識，利用共線向量設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵，運(yùn)用二次函數(shù)最后求得最值。例10(全國高考題)已知a,b,c為單位向量，ab=0，求(a-c)(b-c)的最小值。解析:(a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2=1-(a+b)c=1-

49、a+b

50、

51、c

52、cos=1-cos(其中a+b與c的夾角為)，當(dāng)cos=1時，(a-c)(b-c)取最小值1-。三相關(guān)參數(shù)的最值例11已知點(diǎn)G