曲線中的最值與定值問題

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1、圓錐曲線中的最值與定值問題圓錐曲線中的最值問題【考點透視】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；函數(shù)值域求解法：當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.利用代數(shù)基本不等式，結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。【題型分析】1.已知P是橢圓在第一象限內(nèi)的點，A（2，0），B（0，1），O為原點，求四邊形OAPB的面積的最大值分析：設P（,），,點P到直線AB：x+2y=2的距離∴所求面積的最大值為（橢圓參數(shù)方程，三角函數(shù)，最值問題的結(jié)合

2、）2.已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（Ⅰ）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為：（x>0）（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，），B（x0，－），＝2當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得

3、k

4、>1，又

5、＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2綜上可知的最小值為23.給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是右焦點，當取得最小值時，試求B點的坐標。解：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義于是為定值其中，當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為所以，當取得最小值時，B點坐標為4.已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是

6、橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A為橢圓的右焦點。作PQ⊥右準線于點Q，則由橢圓的第二定義，∴，顯然點P應是過B向右準線作垂線與橢圓的交點，最小值為。（2）由橢圓的第一定義，設C為橢圓的左焦點，則∴，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。當P到P"位置時，，有最大值，最大值為；當P到位置時，，有最小值，最小值為.（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）5.已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求

7、PQ

8、的最大值。

9、解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時

10、PQ

11、最大，因此要求

12、PQ

13、的最大值，只要求

14、O1Q

15、的最大值.設Q(x，y)，則

16、O1Q

17、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得

18、O1Q

19、2=9(1-y2)+(y-4)2因為Q在橢圓上移動，所以-1￡y￡1，故當時，此時【點睛】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。6.已知△的面積為，（1）設，求正切值的取值范圍；（2

20、）設以O為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），當取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設（2）設所求的雙曲線方程為∴，∴又∵，∴當且僅當時，最小，此時的坐標是或，所求方程為（借助平面向量，將三角形、圓錐曲線最值、求曲線方程、基本不等式等多個知識點有機的結(jié)合起來，綜合考察學生應用相關(guān)知識點解題的能力）7.如圖所示，設點，是的兩個焦點，過的直線與橢圓相交于兩點，求△的面積的最大值，并求出此時直線的方程。分析：，設，，則設直線的方程為代入橢圓方程得即令，∴，（）利用均值不等式不能區(qū)取“＝”∴利用（）的單調(diào)性易得在時取最小值在即時取最大值為

21、，此時直線的方程為（三角形問題、直線方程、最值問題、函數(shù)單調(diào)性的綜合應用）（從特殊入手，求出定點（定值），再證明這個點（值）與變量無關(guān)。）8．設橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【專家解答】（1）法1：直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.①記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設可得點A、B的坐標(x1,y1)、(x2,y2)是方程組②的解.將①代入②并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=

22、0，所以于是設點P的坐標為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0③當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y