時(shí)針和分針的夾角問題

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1、時(shí)針分針夾角問題的教學(xué)問題最近我們?cè)诮虒W(xué)研究中歸納并試行了一種“四同”教學(xué)研究法，也就是由同一位教師、在同一個(gè)半天內(nèi)、分別對(duì)同一層次學(xué)生進(jìn)行同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容所展開的課堂教學(xué)有效性的研究.具體過程是：（1）執(zhí)教教師設(shè)計(jì)和授課；（2）課后點(diǎn)平和形成性測(cè)評(píng)；（3）執(zhí)教教師修改設(shè)計(jì)后在平行班級(jí)再次授課；（4）再次進(jìn)行形成性測(cè)評(píng).由于這樣的教研活動(dòng)主題明確、針對(duì)性強(qiáng)、便于對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行及時(shí)修正，而且形式簡(jiǎn)單、便于組織，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中具有較高的實(shí)用價(jià)值，在教師培訓(xùn)中廣受歡迎.下面以初中數(shù)學(xué)《時(shí)針分針的夾角問題》的教學(xué)為例，闡述在象山中學(xué)進(jìn)行的一次“四同”教學(xué)研究.

2、一、第一節(jié)課的教學(xué)片斷執(zhí)教老師提出問題.師：請(qǐng)同學(xué)們看問題（1）：在5點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？學(xué)生甲：分針每分鐘旋轉(zhuǎn)1小格；時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)1大格（5小格），即每分鐘旋轉(zhuǎn)小格.由于鐘面上每一大格的夾角是，每1小格的夾角是，時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn).20分鐘時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，所以分針于時(shí)針的夾角.師：從上面解法可知時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)分針每分鐘旋轉(zhuǎn)，我們可以把這個(gè)問題看成行程中的追及問題.如果把0時(shí)看成起點(diǎn)，那么到5點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，分針旋轉(zhuǎn)了，由于分針每旋轉(zhuǎn)都與重合，使得最后顯示在鐘面上的分針與起點(diǎn)相比，旋轉(zhuǎn)了，所以分鐘與時(shí)針的夾角.師：請(qǐng)同學(xué)們看問題（2），

3、在1點(diǎn)幾分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直？學(xué)生乙：設(shè)1點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直.把問題（2）看成一個(gè)追及問題，把1點(diǎn)看成起點(diǎn).分針、時(shí)針的速度分別是每分鐘、.初始狀態(tài)是時(shí)針先于分針，它們同時(shí)行走分鐘以后，分針先于時(shí)針，于是有，解得.學(xué)生丙：時(shí)針落后分針時(shí)，兩針也垂直，同樣有，解得.所以在1點(diǎn)分和1點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直.學(xué)生丁：我還有一種方法，分針、時(shí)針的速度分別是每分鐘1小格、小格.在1時(shí)整，時(shí)針先于分針5小格，它們同時(shí)行走分鐘以后，時(shí)針于分針互相垂直，即分針先于時(shí)針15小格或45小格，于是得或.解得或.師：好！我們?cè)倏磫栴}（3）：當(dāng)時(shí)間從0時(shí)走到12時(shí)，

4、時(shí)針于分針有多少次垂直？在0點(diǎn)到1點(diǎn)之間，由或，解得或.在2點(diǎn)到3點(diǎn)之間，或，解得或.在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，，解得.一、第一節(jié)課的簡(jiǎn)要點(diǎn)評(píng)及形成性測(cè)評(píng)1.簡(jiǎn)要點(diǎn)評(píng)：（1）本節(jié)課學(xué)生解題的方法雖然較多，但數(shù)學(xué)思維還停留在算術(shù)方法上，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為列方程方法，幫助學(xué)生找出數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.（2）從教學(xué)設(shè)計(jì)看，執(zhí)教者非常重視學(xué)生的知識(shí)落實(shí)、思維形成和興趣培養(yǎng).但是從具體環(huán)節(jié)看，問題的設(shè)置與教學(xué)設(shè)計(jì)意圖存在一定的差異.問題的難度安排還須進(jìn)行更為系統(tǒng)地考慮.例如：（a）先后討論5：00、5：20、5：26時(shí)時(shí)針、分針的夾角;（b）問題（2）用垂直關(guān)系太難，能否先做些鋪

5、墊；（c）在問題（3）中，時(shí)針與分針的垂直關(guān)系在不同的時(shí)間段有不同的表現(xiàn)，有時(shí)兩次垂直都出現(xiàn)在分針追上時(shí)針以后，有時(shí)兩次垂直都出現(xiàn)在分針追上是真以前，有時(shí)兩次垂直分別出現(xiàn)在分針追上時(shí)針前后各一次.在問題（2）中教師應(yīng)適當(dāng)做些分析和鋪墊.（3）本節(jié)課學(xué)生參與的人數(shù)太少，展示學(xué)生的各種解題思路及方法、暴露個(gè)別學(xué)生不正確的解法機(jī)會(huì)不多.2.形成性測(cè)評(píng)：我們用以下四到小題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的及時(shí)測(cè)試：1.8點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角多少度？2.在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間，時(shí)針與分針和是垂直？3.從0點(diǎn)到12點(diǎn)，時(shí)針與分針重合幾次？4.2點(diǎn)幾分時(shí)，時(shí)針與分針重合？三、改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)

6、計(jì)第一階段：知識(shí)鋪墊1.引出課題：《時(shí)針與分針的夾角問題》2.學(xué)生討論并板演.問題（1）：在5點(diǎn)20分，時(shí)針與分針的夾角多少度？學(xué)生甲：（度）.學(xué)生乙：（度）.學(xué)生丙：（度）.學(xué)生丁：（度）.3.師生共同點(diǎn)評(píng)：第二階段：方法形成師：出示問題（2）在5點(diǎn)26分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？生：師：為什么？生：因?yàn)?點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針在分針前，從5點(diǎn)20分到5點(diǎn)26分，時(shí)針沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了，分針沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了.所以5點(diǎn)26分時(shí)針與分針的夾角為.第三階段：思維拓展師：在n點(diǎn)m分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角多少度？生：一、對(duì)第二次課的形成性測(cè)評(píng)：1.教學(xué)效果分析從形成性測(cè)

7、試結(jié)果看，同樣的測(cè)試題，平均成即有所提高，可見教學(xué)設(shè)計(jì)調(diào)整后的教學(xué)效果明顯優(yōu)于第一節(jié)課.2.數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握第一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)較多地停留在算術(shù)建模上，第二節(jié)課調(diào)整了教學(xué)目標(biāo)，突出了代數(shù)思想，抓住了通性通法的本質(zhì).1.教學(xué)過程的呈現(xiàn)在第二節(jié)課中，教師在整體把握代數(shù)建模思想得前提條件下，注重學(xué)生參與意思的發(fā)揮，通過知識(shí)鋪墊、方法形成和思維拓展，給學(xué)生留有討論、思考和發(fā)揮的空間.