時針和分針的夾角問題

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1、時針分針夾角問題的教學(xué)問題最近我們在教學(xué)研究中歸納并試行了一種“四同”教學(xué)研究法，也就是由同一位教師、在同一個半天內(nèi)、分別對同一層次學(xué)生進行同一個教學(xué)內(nèi)容所展開的課堂教學(xué)有效性的研究.具體過程是：（1）執(zhí)教教師設(shè)計和授課；（2）課后點平和形成性測評；（3）執(zhí)教教師修改設(shè)計后在平行班級再次授課；（4）再次進行形成性測評.由于這樣的教研活動主題明確、針對性強、便于對教學(xué)方法進行及時修正，而且形式簡單、便于組織，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中具有較高的實用價值，在教師培訓(xùn)中廣受歡迎.下面以初中數(shù)學(xué)《時針分針的夾角問題》的教學(xué)為例，闡述在象山中學(xué)進行的一

2、次“四同”教學(xué)研究.一、第一節(jié)課的教學(xué)片斷執(zhí)教老師提出問題.師：請同學(xué)們看問題（1）：在5點20分時，時針與分針的夾角是多少度？學(xué)生甲：分針每分鐘旋轉(zhuǎn)1小格；時針每小時旋轉(zhuǎn)1大格（5小格），即每分鐘旋轉(zhuǎn)小格.由于鐘面上每一大格的夾角是，每1小格的夾角是，時針每分鐘旋轉(zhuǎn).20分鐘時針旋轉(zhuǎn)了，所以分針于時針的夾角.師：從上面解法可知時針每分鐘旋轉(zhuǎn)分針每分鐘旋轉(zhuǎn)，我們可以把這個問題看成行程中的追及問題.如果把0時看成起點，那么到5點20分時，時針旋轉(zhuǎn)了，分針旋轉(zhuǎn)了，由于分針每旋轉(zhuǎn)都與重合，使得最后顯示在鐘面上的分針與起點相比，旋轉(zhuǎn)了，所以分鐘

3、與時針的夾角.師：請同學(xué)們看問題（2），在1點幾分時，時針與分針互相垂直？學(xué)生乙：設(shè)1點分時，時針與分針互相垂直.把問題（2）看成一個追及問題，把1點看成起點.分針、時針的速度分別是每分鐘、.初始狀態(tài)是時針先于分針，它們同時行走分鐘以后，分針先于時針，于是有，解得.學(xué)生丙：時針落后分針時，兩針也垂直，同樣有，解得.所以在1點分和1點分時，時針與分針互相垂直.學(xué)生丁：我還有一種方法，分針、時針的速度分別是每分鐘1小格、小格.在1時整，時針先于分針5小格，它們同時行走分鐘以后，時針于分針互相垂直，即分針先于時針15小格或45小格，于是得或.

4、解得或.師：好！我們再看問題（3）：當(dāng)時間從0時走到12時，時針于分針有多少次垂直？在0點到1點之間，由或，解得或.在2點到3點之間，或，解得或.在3點到4點之間，，解得.一、第一節(jié)課的簡要點評及形成性測評1.簡要點評：（1）本節(jié)課學(xué)生解題的方法雖然較多，但數(shù)學(xué)思維還停留在算術(shù)方法上，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為列方程方法，幫助學(xué)生找出數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.（2）從教學(xué)設(shè)計看，執(zhí)教者非常重視學(xué)生的知識落實、思維形成和興趣培養(yǎng).但是從具體環(huán)節(jié)看，問題的設(shè)置與教學(xué)設(shè)計意圖存在一定的差異.問題的難度安排還須進行更為系統(tǒng)地考慮.例如：（a）先后討論5：00、5

5、：20、5：26時時針、分針的夾角;（b）問題（2）用垂直關(guān)系太難，能否先做些鋪墊；（c）在問題（3）中，時針與分針的垂直關(guān)系在不同的時間段有不同的表現(xiàn)，有時兩次垂直都出現(xiàn)在分針追上時針以后，有時兩次垂直都出現(xiàn)在分針追上是真以前，有時兩次垂直分別出現(xiàn)在分針追上時針前后各一次.在問題（2）中教師應(yīng)適當(dāng)做些分析和鋪墊.（3）本節(jié)課學(xué)生參與的人數(shù)太少，展示學(xué)生的各種解題思路及方法、暴露個別學(xué)生不正確的解法機會不多.2.形成性測評：我們用以下四到小題進行了簡單的及時測試：1.8點15分時，時針與分針的夾角多少度？2.在8點到9點之間，時針與分針

6、和是垂直？3.從0點到12點，時針與分針重合幾次？4.2點幾分時，時針與分針重合？三、改進后的教學(xué)設(shè)計第一階段：知識鋪墊1.引出課題：《時針與分針的夾角問題》2.學(xué)生討論并板演.問題（1）：在5點20分，時針與分針的夾角多少度？學(xué)生甲：（度）.學(xué)生乙：（度）.學(xué)生丙：（度）.學(xué)生?。海ǘ龋?3.師生共同點評：第二階段：方法形成師：出示問題（2）在5點26分時，時針與分針的夾角是多少度？生：師：為什么？生：因為5點20分時，時針在分針前，從5點20分到5點26分，時針沿順時針方向轉(zhuǎn)了，分針沿順時針方向轉(zhuǎn)了.所以5點26分時針與分針的夾角為

7、.第三階段：思維拓展師：在n點m分時，時針與分針的夾角多少度？生：一、對第二次課的形成性測評：1.教學(xué)效果分析從形成性測試結(jié)果看，同樣的測試題，平均成即有所提高，可見教學(xué)設(shè)計調(diào)整后的教學(xué)效果明顯優(yōu)于第一節(jié)課.2.數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握第一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)較多地停留在算術(shù)建模上，第二節(jié)課調(diào)整了教學(xué)目標(biāo)，突出了代數(shù)思想，抓住了通性通法的本質(zhì).1.教學(xué)過程的呈現(xiàn)在第二節(jié)課中，教師在整體把握代數(shù)建模思想得前提條件下，注重學(xué)生參與意思的發(fā)揮，通過知識鋪墊、方法形成和思維拓展，給學(xué)生留有討論、思考和發(fā)揮的空間.