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《正整數(shù)的等差分拆》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、萬方數(shù)據(jù)第26卷第5期哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY正整數(shù)的等差分拆魏運(內(nèi)蒙財經(jīng)學(xué)院)【摘要】討論了正整數(shù)的等差分拆問題,給出了所有大于8的合數(shù)等差分拆的充要條件及重要結(jié)果.關(guān)鍵詞:正整數(shù);等差分拆O引言正整數(shù)的分拆是數(shù)論、圖論、組合數(shù)學(xué)研究的一個重要課題,正整數(shù)的分拆是指將正整數(shù)m表示成一個或若干個正整數(shù)之和,即m2m1+璣2+?+mI其中m?!輑,i=l,2,?,后.一般均討論無序分拆.參考文獻[1,2]對于m。,m:,?,m。及后沒有任何限制的m的分拆的研究已有很多結(jié)果.而對m,,m:,?,
2、m。有限制的正整數(shù)的分拆即等差數(shù)列、奇偶分拆、連續(xù)分拆等也同樣具有研究價值,該文討論了正整數(shù)的一種有限制的拆分,即等差分拆問題,給出了所有大于8的合數(shù)能等差分拆的充要條件,并給出了這種拆分的重要結(jié)果.1預(yù)備知識定義1如果正整數(shù)m是整數(shù)能表示為某個各項都為正整數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列各項的和,那么這個數(shù)列叫做m的一個等差分拆.引理1若方程口戈+6y=c(1)其中o,6,c是整數(shù)且o,6都不是0.有一組整數(shù)解戈=‰,y=y。,且(口,6)=d,則(1)的一切整數(shù)解可以表示為收稿日期:2010—09—20戈=獷爭,),=),。+爭(2)戈2‰一了后,),2),o+了后(z)其中.j}∈z.證
3、明見參考文獻[3].引理2關(guān)于菇,),,z,u的方程戈),+苧掣::“(3)的全部整數(shù)解可表示為茗=蹦=}。一孚如=一。+七,“=}t茗25,,,2r。一丁后,三2一。+俺,“2r‘其中s,z,尼∈。,2s,2t.證明方程(3)同解于方程菇[2),+(石一1)三]=2H(4)對任意s,£∈刈丑2I毗,令2M=s£,則由方程(4)知,方程(3)同整數(shù)解于方程組f:一,.、(5)‘I-)J【2y+(≯一1)z=t”71.n2蠆5‘·以下求方程(5)的解.當(dāng)2s時,由于2s£,所以2h,易知y=÷s£,。=一£是方程(5)的一個整數(shù)解,又因為(2,s—1)=l,由引理1知,方程(5)的全部整
4、數(shù)解可表示為』y=扣一孚后風(fēng)g.【==一£+七萬方數(shù)據(jù)哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報2010年當(dāng)2I£時,同樣),=÷眠z=一t是方程(5)的一個整數(shù)解,又因為(2,s—1)=1,仍由引理l知,方程(5)的全部整數(shù)解可表示為.1jy2爭卜(卜1濰,矗叫LJ:=一£+2詹綜上,引理2成立.引理3正整數(shù)2m存在滿足p2≥p。+1≥4,同時p.、p:為一奇一偶,或p2≥2p?!?,同時p。、JD:為一奇一偶的分解p。p:,當(dāng)且僅當(dāng)m為合數(shù)且m≥6.m≠8.證明設(shè)2m存在滿足p2≥p。+l≥4,同時p。、p:為一奇一偶的分解p。p:,若p。為奇數(shù)p:為偶數(shù),則可設(shè)pl=2m1+l(ml≥1),p2
5、=2‘(2m2+1)(£=l時,m2≥l;£≥2時,m2≥0)于是m=卻lp2=2。1(2m1+1)(2m2+1);當(dāng)£=l,m1、m2≥1,m為合數(shù),且m≥3×3=9;當(dāng)£≥2時,顯然m為合數(shù),且m≥2×3×l=6,m≠8,若p1為偶數(shù)Jp2為奇數(shù),則可設(shè)pl=2‘(nl。+1)(£=1時,mJ≥l;£≥2時,m1≥0),p2=2m2+1(m2≥2),同理可證,m=去-plp2=2。’(2ml+1)(2m:+1)為合數(shù),且m≥6,m≠8.設(shè)2m存在滿足p2≥2JD{≥8,同時pI、p2都為偶數(shù)的分解p。p:,令.pl=2‘(2mI+1)(£=l時,m1≥l;£≥2時,m?!?)p2=
6、25(2,n2+1)(5=l時,,n2≥2;s=2時,m2≥l;s≥3時,m2≥0).貝0m=÷pIp2=2“”1(2nll+1)(2m2+1),‘,.易見m為合數(shù),且m≥6,m≠8.反之設(shè)m為合數(shù),且m≥6,m≠8,當(dāng)2/m時,可設(shè)m=(2m1+1)(2m2+2)(1≤m1≤,n2),令pl=(2mI+1),Jp2=2(2,n2+1),貝0Plp2=2m,pl、p2為一偶一奇,且p2>p1+l≥4,當(dāng)2/m時,可設(shè)m=2‘(2m+1)(£=l,2,3時,m≥l,£≥4時,m≥O),若£=l,m=l,令pl=2,7t+1,p2=4;若£=1,m≥2,令p1=4,p2=2m+1;若£=2
7、,m=1,令pl=2m+1,p2=8;則都有plp2=2m,pl、p2一奇一偶.且p2>P1+1≥4,若£=2,m≥2;£≥3,令p1=4,p2=2’1(2m+1),則plp2=2m,pl、p2都為偶數(shù)
8、P2≥2p.≥8.引理3得證2主要結(jié)果定理4當(dāng)且僅當(dāng)正整數(shù)m為合數(shù)且m≥6,m≠8時,m可以等差分拆,且分拆數(shù)列由以下(1)式和(2)式全部給出.(n為首項,d為公差,凡為項數(shù))(n,口,d):(mm一4}后,一p:+露)(6)(幾,o,cf)