strongart數(shù)學筆記：有限群的tate上同調(diào)

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1、有限群的Tate上同調(diào)對于有限群而言，除了通常意義上的同調(diào)與上同調(diào)之外，還有一類專門的TateCohomology，其指標可以在所有整數(shù)上有定義，可以視為同調(diào)與上同調(diào)合體后的產(chǎn)物。對于具有相當數(shù)學素養(yǎng)的人而言，這無疑是一件非常美妙的事情，下面我就來具體闡述一下。我們知道群的同調(diào)可以是通過投射分解計算，上同調(diào)則可以通過內(nèi)射分解計算，這里我們要把投射分解與內(nèi)射分解結合起來，構造出一個兩邊都開放的完全分解，其上同調(diào)群就TateCohomology.一般狀況下，投射模與內(nèi)射模并沒有明顯的聯(lián)系，這里我們需要減弱條件，進入到

2、相對同調(diào)代數(shù)的領域，引入所謂相對內(nèi)射模的概念。實際上，相對內(nèi)射模就是說對G與其有限指標子群H，當單射i：M→N視為H-模可裂時，作為G-模的誘導映射i^*是滿射。利用上誘導與限制的平衡性，可以證明對任何H-模N，上誘導G-模Coind（N）是相對內(nèi)射的，進而任何G-模M均可嵌入典型相對內(nèi)射模Coind（Res(M）），并且當M是（有限生成）投射模時，被嵌入的也是（有限生成）投射模。這樣的嵌入關系就導致了鏈式反應，得到一個投射模的后項分解，進而得到了由投射模組成的完全分解。對于完全分解而言，借助于對偶的概念，還有更

3、加簡明的刻畫。對交換環(huán)R，記F=Hom（F，R）為F的對偶，它可以把普通投射分解變成后項投射分解?？梢韵热蓚€投射分解P.與Q.，Q.的對偶Q.就與P.組成了完全分解，它結構形如…→P0→Z，Z→Q0→…，復合一下可得…→P0→Q0→…，再把所有Qi記為P-i-1，便得到了由{Pi：i∈Z}構成的完全分解。這樣構造的TateCohomology借助了原先的分解，與普通上同調(diào)的差別僅在于“接縫”的地方。具體來說就是：當i＞0時，TateH^i=H^i;當i＜-1時，TateH^i=H^(-i-1).而TateH^(

4、-1)=kerN,TateH^0=cokerN,這里N稱為范映射，實際上就是G內(nèi)所有元素之和（G有限?。?。下面我們看一下循環(huán)群的例子，對于循環(huán)群Zp，普通上同調(diào)的情況是：H^i（Zp）=Zp，若p是正偶數(shù)；H^i（Zp)=Z，若p=0；H^i（Zp）=0，若p是奇數(shù)或負的。而相應的TateCohomology則是：TateH^i(Zp)=Zp,若p是偶數(shù)TateH^i(Zp)=0,若p是奇數(shù)顯然，TateCohomology的結論消除了零階這個“奇點”，無疑要比普通上同調(diào)完善很多，事實上我們有結論群G的TateC

5、ohomology是周期為2的iffG是循環(huán)群。除了周期為2的情況之外，一般情況又如何呢？實際上，像同調(diào)長正合列、函子可消性、杯積對偶等等的性質(zhì)，TateCohomology都與普通上同調(diào)類似，但這個周期上同調(diào)卻是TateCohomology特有的有趣性質(zhì)。對于周期上同調(diào)，一個簡明的等價條件是：G有周期上同調(diào)iff對某d≠0，TateH^d(G,Z)≌Z/

6、G

7、Z(≌TateH^0(G,Z))實際上就是說可以把它“平移”到原點處理，具體可以解釋為存在元素u∈TateH^d(G,Z)可逆，其同構可以由-∪u誘導。由

8、此我們得到一個簡單的推論：若G有周期上同調(diào)，則G的任何子群H也是如此。接下來研究帶有周期上同調(diào)的群有何性質(zhì)，這可以通過p-群進行處理：有限群G有周期上同調(diào)iffG的任何Sylow子群有周期上同調(diào)。我們先研究p-群G的周期上同調(diào)，假若G包含形如Zp×Zp的子群，那么由Kunneth公式可得TateH^n（Zp×Zp，Zp）作為Zp-向量空間是n+1維的，因此它就是不是周期的。這樣我們得到，若p-群G有周期上同調(diào)，則p的任何Abel子群都是循環(huán)的，進而得到G有唯一的p階子群，再引用一下有限群論中的定理，最終得到G是循

9、環(huán)群或廣義四元數(shù)群（此時p=2）。幸運的是，這兩種群確實有周期上同調(diào)，這就完成了整個循環(huán)的推理。把p-群的結論應用到一般情況，可以得到結論：G有周期上同調(diào)iffG的任何Sylow子群是循環(huán)群或廣義四元數(shù)群。此外，我們還可以輕裝上陣，只做局部化處理。考慮對某個固定素數(shù)p的周期上同調(diào)，便可得到結論：G有p-周期上同調(diào)iffG的p-Sylow子群是循環(huán)群或廣義四元數(shù)群。最后簡單提一下TateCohomology的推廣，實際上它可以推廣到滿足一定有限條件的（無限）群上。具體來說，就推廣到vcd（G）有限的群上，即存在某個

10、有限指標的子群H，滿足其上同調(diào)維數(shù)cd（H）有限。對于這樣的群，我們也可以構造某種完全分解，所得到的上同調(diào)稱為FarrellCohomology，對此本文就不再詳細闡述了。本文作者Strongart是一位自學數(shù)學的牛人，現(xiàn)在他依然努力堅持自學數(shù)學，似乎又有了新的突破，還錄了一些數(shù)學專業(yè)教學視頻放在網(wǎng)上。然而，他卻一直沒有收到專業(yè)人士的邀請，至今只能依靠網(wǎng)絡書店購買書籍，無