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《strongart數(shù)學(xué)筆記：半單環(huán)上的模特征與環(huán)的同調(diào)維數(shù)小結(jié)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、半單環(huán)上的模特征小結(jié)記得剛開始學(xué)模的時(shí)候，總覺得其中有一種不協(xié)調(diào)感，后來(lái)知道是主角與配角之間的關(guān)系有點(diǎn)錯(cuò)亂，作為系數(shù)的環(huán)似乎喧賓奪主的成了主角，但是這也使得環(huán)與模的關(guān)系非常密切。下面我就結(jié)合最近學(xué)到的東西，以半單環(huán)上的模特征為例作一個(gè)小結(jié)。先看這樣的一個(gè)命題：ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisdivisible.其實(shí)直觀上也容易理解，類比于semisimplering中anyrightideal均可作為直和加項(xiàng)，在von-Ne
2、umannregularring中的principalrightideal是直和加項(xiàng)，而divisiblemodule則等價(jià)于principallyinjective，后者是指BaerCriterion中的anyrightideal換成anyprincipalrightideal，可以視為我們熟知的結(jié)論injective→divisible的本質(zhì)解釋。我們還可以從另一個(gè)角度看這個(gè)問題，初級(jí)教科書中一般只在domain上介紹divisiblemodule，其實(shí)可以推廣到一般環(huán)上如下：AR-moduleMisd
3、ivisibleifforanyu∈Manda∈R,(foranyx∈R,ax=0→ux=0)→u∈Ma.我們把它推廣到相應(yīng)的族，就得到fullydivisible的概念，也就是說(shuō)：AR-moduleMisfullydivisibleifforany{u_i}CMand{a_i}CR,(forany{x_i}CR,Σa_ix_i=0→Σu_ix_i=0)→u_i=va_i，v∈M.可以證明，fullydivisible與injective也是等價(jià)的。在初級(jí)環(huán)論中，我們知道semisimple→von-Neu
4、mannregular→Jacobsonsemisimple，一個(gè)自然的問題就是它們對(duì)應(yīng)的模有什么性質(zhì)？事實(shí)上，我們還有命題：A(right)ringRissemisimpleringiffeveryrightR-moduleisinjective，這與上文中的injective→divisible高度契合。如果我們知道相應(yīng)環(huán)上模之間關(guān)系，就可以導(dǎo)出相應(yīng)的環(huán)的關(guān)系，但反過(guò)來(lái)卻是不行的，理由是這樣的模未必一定是相應(yīng)環(huán)上的模。事實(shí)上，我們還有A(right)ringRissemisimpleringiffeve
5、ryrightR-moduleisprojective，ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisflat，這些都是很漂亮的命題，但對(duì)于一般的模，顯然injective不意味著projective，divisible也不意味著flat.對(duì)于Jacobsonsemisimplering，我也想找一下相應(yīng)模的特征，開始我猜想是rad(M)=0.后來(lái)發(fā)現(xiàn)ArightringRisV-ringiffforanyrightR-moduleM,r
6、ad(M)=0.這樣的rightV-ring在交換的情形下重合于von-Neumannregularring，考慮一般緊集上的連續(xù)函數(shù)環(huán)，就知道von-Neumannregularring并不是都是Jacobsonsemisimplering，因此我的猜想是錯(cuò)誤的。但這樣的rightV-ring有個(gè)等價(jià)條件是anyrightidealI≠Risanintersectionofmaximalrightideals，因此anyquotientofRisJacobsonsemisimplering.特別地，它自身
7、也應(yīng)該是Jacobsonsemisimplering，這多少還是值得欣慰的。我查了手頭的代數(shù)書，似乎都沒找到Jacobsonsemisimplering的模特征，甚至連交換的情形也沒有，看來(lái)問題并不是太簡(jiǎn)單的。但是就von-Neumannregularring而言，有這樣一個(gè)有趣的命題：AcommutativeRisvon-NeumannringiffeverysimpleR-moduleisinjectiveiffeverysimpleR-moduleisdivisible.如果在模的上面再加上一些修飾，
8、結(jié)論自然要弱一些，但Jacobsonsemisimple正好就是比較弱的，也許最終只能得到這樣稍弱的命題，當(dāng)然這還有待于進(jìn)一步的探索。環(huán)的同調(diào)維數(shù)學(xué)習(xí)小結(jié)最近讀了Lam的LecturesonModulesandRing的第五段Homologicaldimension，主要就是講投射維數(shù)(pd.dim)、內(nèi)射維數(shù)(id.dim)與平坦維數(shù)(fd.dim)這三個(gè)概念，這次算是基本上看清楚了。下面我就來(lái)簡(jiǎn)單小結(jié)一下，重
